4.3. Сучасна вартість постійної ренти постнумерандо

Річна рента. Нагадаємо, що під сучасною вартістю потоку платежів розуміють суму дисконтованих членів цього потоку на деякий попередній момент часу. Замість терміну "сучасна вартість" (сучасна величина) потоку платежів залежно від контексту використовують терміни капіталізована вартість або приведена величина. Методи розрахунку сучасних вартостей фінансових рент обговоримо в тому ж порядку, що і методи нарощування рент і майже так же детально. Почнемо з найпростішого випадку — річної ренти постнумерандо, член якої дорівнює R, термін ренти — п, щорічне дисконтування. Рента негайна. В цих умовах дисконтована величина першого платежу дорівнює Rv, другого — Rv², останнього — Rvⁿ . Як бачимо, ці величини утворюють ряд, відповідний геометричній прогресії з першим членом Rv і знаменником v. Позначимо суму членів цієї прогресії через А:

(4.14)

Назвемо множник, на який множимо R, коефіцієнтом приведення ренти, він позначений як а_п;i. Цей коефіцієнт характеризує сучасну вартість ренти з членом, рівним 1.

Оскільки даний параметр часто застосовується у фінансових розрахунках, корисно звернути увагу на його властивості. Очевидно, що чим вище значення i, тим менше величина коефіцієнта. Неважко показати, що при i=0

a_n;i=0=n

При збільшенні терміну ренти величина а_n;i прагне деякої межі. При п = ∞ граничне значення коефіцієнта складе

. (4.15)

Отриманий вираз застосовується при розрахунку сучасної вартості вічної ренти.

Скористаємося формулою (4.14) для визначення взаємозв'язку коефіцієнтів приведення обмеженої і вічної рент:

ПРИКЛАД 4.8. Річна рента постнумерандо характеризується параметрами: R=4млн грн., п = 5. При дисконтуванні по складній ставці відсотка, рівній 18,5 % річних, отримаємо

A=4a_5;18.5 = 4• = 4 • 3,092 = 12,368 млн грн.

Таким чином, всі майбутні платежі оцінюються зараз в сумі 12,368 млн грн. Інакше кажучи, 12,368 млн грн., розміщених під 18,5% річних, забезпечують щорічну виплату по 4 млн грн. протягом 5 років.

Помітимо, що формула (4.14) може бути застосована і для визначення сучасної вартості p-терміновоїренти. В цьому випадку змінна п означає число періодів ренти, а i— ставка за один період (але не річна).

Коефіцієнт приведення ренти за термін п = n₁ + п₂визначається таким чином:

(4.16)

Річна рента, нарахування відсотків т раз в році. Не виводитимемо формулу для цього випадку, а просто замінимо у формулі (4.14) дисконтний множник (1 + i)^-n на еквівалентну величину (1 + j/m)^-mn відповідно, i замінимона (1 + j/m)^m — 1, після чого маємо:

. (4.17)

Рента р-термінова (т = 1). Якщо платежі проводяться не один, а р раз в році, то коефіцієнти приведення знаходяться так само, як це було зроблено для річної ренти. Тільки тепер розмір платежу дорівнює R/p, а число членів складе пр. Сума дисконтованих платежів в цьому випадку дорівнює

. (4.18)

ПРИКЛАД 4.9. В першому розділі згадувалася аварія на хімічному заводі в Бхопале (Індія). Корпорація "Юніон Карбайд" запропонувала як компенсація потерпілим 200 млн долл., виплачуваних протягом 35 років. Пропозиція була відхилена ("За рубежем". 1985. № 11). Запропонована компенсація еквівалентна 57,5 млн долл., що виплатили одноразово. Покажемо, як була розрахована ця сума.

Якщо виплати проводяться щомісячно протягом 35 років рівними сумами, то даний ряд платежів є постійною рентою (р = 12) з річною сумою виплат 200/35 = = 5,714 млн долл. в рік. Припустимо, це рента постнумерандо. Тоді згідно (4.18), при і = 10%, отримаємо

млн дол.

Інакше кажучи, капітал в сумі всього 57,59 млн дол. при нарахуванні 10% річних достатній для виконання зобов'язання

Рента р-термінова (р = т). Число членів ренти тут дорівнює числу нарахувань відсотків; величина члена ренти складає R/m . У результаті

. (4.19)

Цей же результат можна отримати і по формулі (4.14) і при цьому скористатися таблицею коефіцієнтів приведення постійних рент. В цьому випадку замість числа років береться кількість періодів ренти, процентна ставка і величина члена ренти визначаються відповідним чином.

Рента р-термінова (р ≠т). Сума членів відповідної прогресії складе

. (4.20)

Ренти з безперервним нарахуванням відсотків. Нехай, як і вище, ряд складається з щорічних платежів, рівних R, проте відсотки нараховуються безперервно, сила зростання дорівнює δ. При дисконтуванні по цій ставці всіх членів ряду отримаємо геометричну прогресію з першим членом R і знаменником е^-δ . Сума членів прогресії знаходиться таким чином:

. (4.21)

Якщо має місце р-термінова рента з безперервним нарахуванням відсотків, то

. (4.22)

Приклад 4.10. Для умов прикладу 5.9 при δ = 0,185 знаходимо

.

Порівняння сучасних вартостей рент постнумерандо з різними умовами. Як випливає з наведених прикладів, величина сучасної вартості помітно залежить від умов нарощування відсотків (точніше, дисконтування) і частоти виплат в межах року. Нижче приводяться співвідношення сучасних вартостей відповідних рент. Сучасні вартості позначені як А(р;т), причому запис А(1;1) означає річну рентуз щорічним нарахуваннямвідсотків, A(р; ∞) відноситься до p-термінової ренти з безперервним нарахуванням відсотків.

Для одних і тих же річних сум виплат і процентних ставок (i = j = δ) отримаємо наступні нерівності:

А(1;∞)< А(1;т)< А(р;∞)< А(р;т)< А(р;т)< А(р;т)<А(р;1).

т>р>1 р=т>1 р>т>1

З приведених нерівностей, зокрема, витікає, що рента з умовами р = 4 і т = 2 має більшу сучасну вартість, ніж рента з с р = 2іт = 4.

Залежність між нарощеною і сучасною вартістю ренти. Для річних і p-термінових постійних рент постнумерандо з щорічним нарахуванням відсотків знаходимо

(4.23)

Аналогічним чином отримаємо

Svⁿ = A

Для рент з нарахуванням відсотків т раз в році маємо

А(1 +j/m)^mn = S (4.24)

S(1+j/m)^-mn = А. (4.25)

Неважко здогадатися, що в аналогічній залежності знаходяться і коефіцієнти нарощування і приведення, зокрема

a_n;i(1+i)ⁿ=s_n;v s_n;svⁿ=a_n;i

ПРИКЛАД 4.11. Знайдемо сучасну вартість для варіанту ренти р = т = 4, взявши за основу S = 31,785 (див. приклад 4.3). По формулі (4.25) отримаємо

млн грн.