4.2. Нарощена сума постійної ренти постнумерандо

Методом прямого розрахунку можна знайти нарощену суму і сучасну вартість будь-якого потоку платежів, у тому числі і постійної ренти. Проте зручніше, особливо в аналітичній цілі, скористатися більш компактними формулами. Оскільки узагальнюючі характеристики постійних рент грають суттєву роль в аналізі фінансових операцій, отримаємо ці формули для всіх видів постійних рент. Аналізуємо ренти постнумерандо.

Річна рента. Почнемо з найпростішого випадку — річної ренти постнумерандо. Нехай протягом п років до банку в кінці кожного року вноситься по R грн. На внески нараховуються складні відсотки по ставці i % річних. Таким чином, є рента, член якої дорівнює R, а термін — п. Всі члени ренти, окрім останнього, приносять відсотки — на перший член відсотки нараховуються п — 1 рік, на другій п — 2 і т.д. На останній внесок відсотки не нараховуються (нагадаємо, що рента постнумерандо). Нарощена до кінця терміну кожного внеску сума складе:

R(1+i)^n-1, R(1+i)^n-2, R(1+i)^n-3 , . . . ,R(1+i), R

Перепишемо цей ряд в зворотному порядку. Неважко переконатися в тому, що він є геометричною прогресією із знаменником (1 + i) і першим членом R. Число членів прогресії дорівнює п. Шукана величина очевидно дорівнює сумі членів цієї прогресії.

Звідки

(4.4)

Позначимо множник, на який умножається R, через s_n;і нижній індекс n;i указує на тривалість ренти і величину процентної ставки. Надалі цей множник називатимемо коефіцієнтом нарощування ренти. Даний коефіцієнт є нарощеною сумою ренти, член якої дорівнює 1:

(4.5)

Таким чином

(4.6)

ПРИКЛАД 4.3. Для забезпечення деяких майбутніх витрат створюється фонд. Засоби до фонду поступають у вигляді постійної річної ренти постнумерандо протягом 5 років. Розмір разового платежу 4 млн грн. На внески, що поступили, нараховуються відсотки по ставці 18,5% річних. Необхідну величину визначимо по формулі (4.4). Величина фундації на кінець терміну складе

млн. грн.

Для розрахунку нарощеної суми можна скористатися фінансовою функцією БС в Excel 2003 (в попередніх версіях Excel ця функція позначалася як БЗ), яку можна застосовувати тільки в тих випадках, коли р = т.

Річна рента, нарахування відсотків т раз в році. Нехай як і вище, аналізується річна рента постнумерандо. Протевідсотки тепер нараховуються т раз в році. Число членів ренти дорівнює п. Члени ренти з нарахованими до кінця терміну відсотками утворюють ряд (перепишемо його в зворотному порядку):

. . ., (4.7)

де j — номінальна ставка відсотків.

Неважко переконатися, що і в цьому випадку ми маємо справу із зростаючою геометричною прогресією. Перший член прогресії дорівнює R, знаменник —

(1+ j/m)^m. Сума членів цієї прогресії складає

. (4.8)

ПРИКЛАД 4.4. Дещо змінимо умови прикладу 4.3. Нехай тепер відсотки нараховуються поквартально, а не раз в році. Маємо j/m = 18,5/4, тп = 20:

млн.руб.

Як бачимо, перехід від річного нарахування відсотків до поквартального дещо збільшив нарощену суму.

Розглянемо тепер методи розрахунку нарощеної суми для варіантів р-термінової ренти постнумерандо за умови, що т = 1, т = р і т ≠ р.

Рента p-термінова (т = 1). Нехай рента виплачується р раз в році рівними сумами, відсоток нараховується раз в кінці року. Якщо річна сума платежів дорівнює R, то кожного разу виплачується R/p. Загальне число членів ренти дорівнює np. Послідовність членів ренти з нарахованими відсотками є геометричною прогресією. Перший член її дорівнює R/p, знаменник — (1 + i)^1/p. Сума членів цієї прогресії

. (4.9)

ПРИКЛАД 4.5. Повернемося до умов прикладу 4.3. Припустимо, платежі виплачуються поквартально: R/р=1млн грн., загальне число платежів дорівнює 20. Нарощена сума складе

млн.грн.

Рента p-термінова (р = m). На практиці найбільш часто зустрічаються випадки, коли число виплат в році дорівнює числу нарахувань відсотків: р= т. Для отримання необхідної формули скористаємося (4.4), в якій i замінене наj/m, а замість числа років береться число періодів виплат ренти пр, член ренти дорівнюєR/p. Оскільки р = т, то у результаті отримаємо

. (4.10)

Отримані вище формули (4.4) і (4.5) можуть застосовуватися і для визначення нарощеної суми p-терміновоїренти. В цьому випадку змінна п означає число періодів, у свою чергу i є ставкою за період. Наприклад, нехай рента постнумерандо виплачується по півріччям. Тоді у формулі (4.4) під п слід розуміти число півріч, а під i — складну ставку за півріччя.

ПРИКЛАД 4.6. Продовжимо наш приклад 4.3—4.5. Нехай виплата членів ренти і нарахування відсотків проводиться поквартально. По формулі (4.10) отримаємо

млн грн.

або по формулі (4.4)

= 31,785 млн грн.

Рента р-термінова (р ≠ т). Визначимо тепер нарощену суму для самого загального випадку — р-терміноварента з нарахуванням відсотків т раз в році. Загальна кількість членів ренти дорівнює пр, величина члена ренти R/p. Члени ренти з нарахованими відсотками утворюють ряд, відповідний геометричній прогресії з першим членом R/pі знаменником ((1 + j/т)^m/p. Сума членів такої прогресії складе

. (4.11)

ПРИКЛАД 4.7. Якщо в ренті, нарощена сума якої визначалася в попередньому прикладі, нарахування відсотків проводиться щомісячно, то

млн грн.