2.1. Формула нарощування

Під нарощеною сумою позики (довга, депозиту, інших видів виданих у борг або інвестованих грошей) розуміють первинну її суму з нарахованими відсотками до кінця терміну нарахування. Нарощена сума визначається множенням первинної суми боргу на множник нарощування, який показує, в скільки разів нарощена сума більше первинної. Розрахункова формула залежить від виду вживаної процентної ставки і умов нарощування.

До нарощування по простих відсотках звичайно прибігають при видачі короткострокових позик (на строк до 1 року) або у випадках, коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються. Для запису формули нарощування простих відсотків приймемо позначення:

I — відсотки за весь термін позики;

Р — первинна сума боргу;

S — нарощена сума, тобто сума в кінці терміну;

i — ставка нарощування відсотків (десятковий дріб);

п — термін позики.

Якщо термін вимірюється в роках (як це звичайно і буває), то i означає річну процентну ставку. Відповідно кожний рік приносить відсотки в сумі Pi. Нараховані за весь термін відсотки складуть

I = Pni. Нарощена сума, таким чином, знаходиться як

S = Р + I = Р + Pni = P(1+ ni). (2.1)

Вираз (2.1) називають формулою нарощування по простих відсотках або стисло — формулою простих відсотків, а множник (1+ ni) — множником нарощування простих відсотків. Графік зростання по простих відсотках представлений на рис. 2.1.

S

S

Pni

P

2 1 0 N

Рис. 2.1

ПРИКЛАД 2.1. Визначимо відсотки і суму накопиченого боргу, якщо позика дорівнює 700 тис.грн., термін 4 року, відсотки прості по ставці 20% річних:

I = 700 х 4 х 0,2 = 560 тис. грн.;

S = 700 + 560 = 1260 тис. грн.

Практика розрахунку відсотків для короткострокових позик. Оскільки процентна ставка, як правило, встановлюється в розрахунку за рік, то при терміні позики менше року необхідно визначити, яка частина річного відсотка сплачується кредитору. Аналогічна проблема виникає і у випадках, коли термін позики менше періоду нарахування.

Розглянемо найбільш поширений в практиці випадок — з річними періодами нарахування. Очевидно, що термін позики необов'язково рівний цілому числу літ. Виразимо термін n у вигляді дробу ,

де t — число днів позики, К — число днів в році, або тимчасова база нарахування відсотків.

При розрахунку відсотків застосовують дві тимчасові бази: К = 360 днів (12 місяців по 30 днів) або К = 365, 366 днів. Якщо К = 360, то одержують звичайні або комерційні відсотки, а при використовуванні дійсної тривалості роки (365, 366 днів) розраховуютьточні відсотки.

Число днів позики також можна зміряти приблизно і точно. В першому випадку тривалість позики визначається з умови, згідно якій будь-який місяць приймається рівним 30 дням. У свою чергу точне число днів позики визначається шляхом підрахунку числа днів між датою видачі позики і датою її погашення. День видачі і день погашення вважаються за один день.

Отже, можливі і застосовуються на практиці три варіанти розрахунку простих відсотків.

1. Точні відсотки з точним числом днів позики. Цей варіант, природно, дає найточніші результати. Даний спосіб застосовується центральними банками багатьох країн і крупними комерційними банками, наприклад, у Великобританії, США. В комерційних документах він позначається як 365/365 або ACT/ACT.(Англійський)

2. Звичайні відсотки з точним числом днів позики. Цей метод, іноді називають банківським, поширений у Франції, Бельгії, Швейцарії. Він позначається, як 365/360 або АСТ/360. Цей варіант дає дещо більший результат, ніж застосування точних відсотків. Помітимо, що при числі днів позики, що перевищує 360, даний спосіб призводить до того, що сума нарахованих відсотків буде більше, ніж передбачається річною ставкою. Наприклад, якщо t = 364, то п = 364/360 = 1,01111. Множник нарощування за рік за умови, що i = 20%, складе 1,20222. (Французький)

3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики. Такий метод застосовується тоді, коли не вимагається великої точності, наприклад при проміжних розрахунках. Він прийнятий в практиці комерційних банків Німеччини, Швеції, Данії. Метод умовно позначається як 360/360.(Німецький)

Очевидно, що варіант розрахунку з точними відсотками і наближеним числом днів позики позбавлений значення і не застосовується.

Оскільки точне число днів позики в більшості випадків, але не завжди, більше наближеного (в чому легко переконатися, визначивши середнє за рік число днів в місяці, яке дорівнює 30,58), то метод нарахування відсотків з точним числом днів позики звичайно дає більше зростання, ніж з наближеним.

ПРИКЛАД 2.2. Позика у розмірі 1 млн грн. видана 20.01 до 05.10 включно під 18% річних. Яку суму повинен заплатити боржник в кінці терміну при нарахуванні простих відсотків? При рішенні застосуємо всі три методи. Заздалегідь визначимо число днів позики: точне — 258, наближене — 255.

1. Точні відсотки з точним числом днів позики (365/365):

S = 1 000  000(1+ 0,18)= 1 127 233 грн.

2. Звичайні відсотки з точним числом днів позики (360/365):

S = 1 000 000(1 + 0,18)= 1 129 000 грн.

3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики (360/360):

S = 1 000 000(1 + 0,18)= 1 127 500 грн.

Якщо загальний термін позики захоплює два суміжні календарні роки і є необхідність в розподілі суми відсотків між ними (наприклад, при визначенні річних сум доходу і т.д.), то загальна сума нарахованих простих відсотків складе суму відсотків, отриманих в кожному році:

I= I₁ + I₂ = Pn₁i+ Pn₂i, (2.2)

тут n₁ і n₂ — частини терміну позики, що доводяться на кожний календарний рік.

Змінні ставки. В кредитних угодах іноді передбачаються що змінюються в часі процентні ставки. Якщо це прості ставки, то нарощена на кінець терміну сума визначається таким чином:

S = P(1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ +…+ n_m i_m ) = P(1 +n_t i_t )

S = P(1 + n1 i1 + n2 i2+.+ nm im )= P(1 +n_t it )

(2.3)

де i_t — ставка простих відсотків в періоді t, n_t — тривалість періоду з постійною ставкою, п = п_t

ПРИКЛАД 2.3. Контракт передбачає наступний порядок нарахування відсотків: перший рік — 16%, в кожному подальшому півріччі ставка підвищується на 1%. Необхідно визначити множник нарощування за 2,5 роки. Знаходимо

1 + n_t i_t = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 + 0,5 х0,19 = 1,43.