3.2. Додаткова література

16. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987. – 416 с.

17. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Лань, 2005. – 400 с.

18. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

19. Коробейников А.Г. Математические основы криптографии. – СПб.:СПб ГИТМО, 2002. – 41 с.

20. Соловьёв Ю.П., Садовничий В.А. Шавгулидзе Е.Т., Белокуров В.В. Эллиптические кривые и современные алгоритмы теории чисел. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 192 с.

21. Черёмушкин А.В.Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с.

3.3. Наочні посібники

1. Слайди та роздавальні матеріали до тем дисципліни.

2. Тестуючий комплекс.

3.4. Інші інформаційні джерела

1. Електронна бібліотека ДУІКТ.

2. http://www.ssl.stu.neva.ru/psw/crypto.html

3. http://www/cryptography.ru

4. http://web.cryptography.org.ua/index.html

4. Методичні рекомендації до опрацьовування тем навчальної програми

4.1. Рекомендації до опрацьовування тем 1-3 розділу 1

Прикладні аспекти лінійної алгебри

В темі 1 Скінченновимірні векторні простори вводиться поняття скінченновимірного векторного простору над полем, розглядаються приклади векторних просторів та їх найпростіші властивості. Поняття векторного (лінійного) простору дає можливість виконувати лінійні дії (додавання і множення на число) не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Основна увага приділяється поняттю лінійної залежності системи векторів, яке є фундаментальним в лінійній алгебрі. Найбільшу увагу треба приділити отриманню навичок дослідження системи векторів на лінійну залежність і незалежність.

Поняття базису векторного простору, пов’язане з лінійною залежністю системи векторів, також є фундаментальним в лінійній алгебрі.

Розглянуті взаємодії між векторними просторами – їх ізоморфізми, а також підпростори.

Також в цій темі розглядаються основні положення загальної теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для якісного розуміння і засвоєння цієї теми необхідно повторити тему 2 «Системи лінійних алгебраїчних рівнянь» розділу 1 і тему 4 «Векторні простори та лінійні оператори» розділу 2 курсу лінійної алгебри і аналітичної геометрії.

Рекомендована навчальна література: [8], [11], [12].

В темі 2 Лінійні оператори в векторних просторах вивчаються відображення векторних просторів у найпростішому випадку лінійного оператора, коли відображення відбувається в одному й тому самому просторі із збереженням лінійних дій. Вводиться поняття матриці лінійного оператора і виявляється, що у координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора . Таким чином, дії з лінійними операторами зводяться до відповідних дій з їх матрицями.

Також в цій темі розглядаються потрібні для подальших застосувань характеристичний та мінімальний многочлени матриці та мінімальний многочлен вектора відносно матриці.

Розглядається також питання про знаходження власних значень і власних векторів лінійного оператора, а також про побудову власного підпростору лінійного оператора.

Для якісного розуміння і засвоєння цієї теми необхідно повторити тему 4 «Векторні простори та лінійні оператори» розділу 2 курсу лінійної алгебри і аналітичної геометрії.

Рекомендована навчальна література: [8], [11], [12].

Лінійні рекурентні послідовності над полем , які розглядаються в темі 3, генеруються регістром зсуву з лінійним зворотним зв’язком (РЗЛЗЗ, англ. LFSR), що є типовим вузлом генератора гамми у сучасних потокових шифрах. Послідовність, що генерується РЗЛЗЗ, можна розглядати як послідовну зміну станів регістра. З іншого боку, можна вважати, що лінійна рекурентна послідовність вже існує і розглядати стани регістра як значення відрізку послідовності з елементів, який просувається вправо на один елемент за крок. Крім того, стани регістра можуть бути записані через супроводжуючу матрицю, мінімальний многочлен якої є мінімальним многочленом послідовності.

Також в цій темі розглядається задача відновлення лінійної спотвореної рекуренти і задача пошуку найкоротшого РЗЛЗЗ для даної двійкової послідовності.

Рекомендована навчальна література: [1], [8], [11].