2. Теоретичні питання навчальної програми

Розділ 1

Прикладні аспекти лінійної алгебри

Тема 1. Скінченновимірні векторні простори

1. Поняття скінченновимірного векторного простору над полем.

2. Лінійна залежність системи векторів.

3. Ранг матриці.

4. Базис і розмірність векторного простору.

5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.

6. Ізоморфізм векторних просторів.

7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія).

8. Підпростори векторного простору.

Тема 2. Лінійні оператори в векторних просторах

1. Лінійні оператори в векторних просторах.

2. Лінійні оператори і матриці.

3. Дії з лінійними операторами.

4. Характеристичний та мінімальний многочлени матриці.

5. Мінімальний многочлен вектора відносно матриці.

6. Інваріантний та циклічний підпростори лінійного оператора.

Тема 3. Лінійні рекурентні послідовності над полем

1. Регістри зсуву з лінійним зворотним зв’язком.

2. Лінійна рекурентна послідовність, що генерується РЗЛЗЗ.

3. Запис станів двійкового регістру через супроводжуючу матрицю.

4. Анулюючі та мінімальні многочлени послідовностей над полем .

5. Вираз елементів рекуренти через початковий стан.

6. Існування тричленних похідних співвідношень.

7. Задача відновлення спотвореної лінійної рекуренти.

8. Лінійна складність комбінуючого генератора.

9. Алгоритм Берлекемпа-Мессі пошуку найкоротшого РЗЛЗЗ для даної двійкової послідовності.

Розділ 2

Теоретико-числові обчислювальні алгоритми

Тема 4. Розв’язування алгебраїчних конгруенцій

1. Розв’язування квадратних конгруенцій за простим модулем.. Алгоритм Шенкса-Тонеллі добування квадратного кореня у скінченному полі.

2. Алгебраїчні конгруенції -го степеня за простим модулем та способи їх розв'язування.

3. Число розв’язків конгруенції -го степеня за простим модулем.

4. Алгебраїчні конгруенції -го степеня за складеним модулем та способи їх розв'язування.

5. Алгоритм Берлекемпа розкладання многочлена на незвідні множники над скінченним полем.

Тема 5. Арифметичні алгоритми багатократної точності

1. Алгоритми додавання і віднімання невід’ємних цілих чисел.

2. Алгоритми множення: стовпчиком, «швидким стовпчиком», методом Карацуби.

3. Алгоритми ділення.

4. Деякі алгоритми модулярної арифметики: алгоритм Гарнера розв’язування системи лінійних конгруенцій; модулярне множення.

Тема 6. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь над скінченними полями

1. Алгоритм знаходження всіх цілочислових розв’язків лінійного алгебраїчного рівняння.

2. Алгоритм знаходження всіх цілочислових розв’язків довільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

3. Алгоритм Відемана знаходження всіх розв’язків довільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь над скінченним полем.

Тема 7. Алгоритми на еліптичних кривих

1. Еліптичні криві та їх властивості.

2. Еліптичні криві над скінченним полем.

3. Визначення порядку групи точок еліптичної кривої над скінченним полем.

4. Знаходження точки еліптичної кривої над .

5. Методи обчислення скалярного множення на еліптичній кривій.

Розділ 3

Вибрані глави теорії ймовірностей і математичної статистики

Тема 8. Розподіли ймовірностей випадкових величин

1. Випадкові величини.

2. Функція розподілу випадкової величини.

3. Щільність розподілу.

4. Числові характеристики розподілу випадкових величин.

5. Біноміальний розподіл ймовірностей.

6. Рівномірний розподіл.

7. Нормальний розподіл.

8. Нормальне наближення.

9. Розподіли, пов’язані з нормальним. Розподіл .

10. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин.

11. Оцінки параметрів біноміального розподілу.

12. Оцінки параметрів нормального розподілу.

Тема 9. Методи аналізу законів розподілу ймовірностей випадкових величин

1. Статистична гіпотеза. Критерій.

2. Критична область. Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез.

3. Загальний алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези.

4. Критерії узгодження. Критерій узгодження Пірсона.

5. Критерії однорідності двох вибірок. Критерій як критерій однорідності.

Тема 10. Статистичне тестування випадкових і псевдовипадкових послідовностей

1. Рівномірно розподілені випадкові послідовності та їх властивості.

2. Універсальний алгоритм статистичного тестування випадкових і псевдовипадкових послідовностей.

3. Універсальний статистичний тест Маурера.

3. Інформаційно-методичне забезпечення

Список літератури

3.1. Основна література

1. Василенко О.С. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.: МНЦНО, 2003. – 328 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1998. – 576 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983 – 416 с.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000. – 366 с.

5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 176 с.

6. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964. – 143 с.

7. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.

8. Кузнєцов Г.В., Фомичов В.В., Сушко С.О., Фомичова Л.Я. Математичні основи криптографії. – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет, 2004. – 391 с.

9. Мао Венбо. Современная криптография: теория и практика. – М.: Вильямс, 2005. – 768 с.

10. Смарт Н. Криптография. – М.:Техносфера, 2005. – 528 с.

11. Харин Ю.С., Берник В.И., Матвеев Г.В., Агиевич С.В. Математические и компьютерные основы криптологии. – Мн.: Новое знание, 2003. – 382 с.

12. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Теория и прикладные аспекты. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 576 с.

13. Довідники з вищої математики, з теорії ймовірностей та математичної статистики.

14. Конспекти лекцій, робочі зошити практичних занять.

15. Навчально-методичні посібники кафедри.