Розділ 3 Вибрані глави теорії ймовірностей і математичної статистики

Тема 8. Розподіли ймовірностей випадкових величин

Завдання 1. Прилад складається з елементів, працюючих незалежно один від одного. Ймовірність відмови кожного елемента дорівнює. Випадкова величина– число елементів, що відмовили. Знайти

а) закон розподілу випадкової величини ;

б) функцію розподілу випадкової величини та її графік;

в) математичне сподівання , дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. а) Побудуємо закон розподілу випадкової величини . Можливі значення випадкової величини– 0.1.2,3,4,5.

Випадкова величина – число елементів, що відмовили – має біноміальний закон розподілу ймовірностей:

За умовою

Закон розподілу випадкової величини задається таблицею:

	0	1	2	3	4	5
	0,3277	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032	1

б) Побудуємо функцію розподілу :

Графікфункції розподілу

в) Математичне сподівання

Дисперсія

Середнє квадратичне відхилення

Завдання 2. Випадкова величина розподілена за рівномірним законом.

а) Написати вираз для функції розподілу і щільності, якщо відомо, що,і для будь-якого інтервалувиконується умова.

б) знайти математичне сподівання , дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. а) Напишемо вирази для функції розподілу і щільності:

б) знайти математичне сподівання , дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

;

;

.

Завдання 3. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами і .

а) Написати вираз для функції розподілу і щільності;

б) знайти .

Розв’язання.

а) Напишемо вирази для функції розподілу і щільності:

; .

в) знайдемо ймовірність події .

.

Тема 9. Методи аналізу законів розподілу ймовірностей випадкових величин

Завдання 4. За критерієм узгодження при рівні значущостіперевірити правильність гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки.

0,4	26,8	15,1	10	4,1	2,9	-1,4	2,6	17,8
23,7	10,5	14	13,9	23,2	20,4	-6,1	14,6	6,9
13,5	4,4	5,6	6,1	7,6	6,7	11,8	7,4	8,1
16,6	15,3	2,6	7,1	21,2	10,2	7,7	6,8	12,8
17,6	18,2	3,2	-1	13,2	20,3	18,2	4,7	13,6
3,6	15,5	9,1	2,2	15,1	12	3,8	-3,5	3,3

Розв’язання.

1) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд

–6,1	–3,5	–1,4	–1	0,4	2,2	2,6	2,6	2,9
2,9	3,2	3,3	3,6	3,8	4,1	4,4	4,7	5,6
6,1	6,7	6,8	6,9	7,1	7,4	7,6	7,7	8,1
9,1	10	10,2	10,5	11,8	12	12,8	13,2	13,5
13,6	13,9	14	14,6	15,1	15,1	15,3	15,5	16,6
17,6	17,8	18,2	18,2	20,3	20,4	21,2	23,2	26,8

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд

	–6,1-0,5	0,5-7,1	7,1-13,7	13,7-20,3	20,3-26,9
	–2,8	3,8	10,4	17	23,6
	5	17	15	12	5	54

Обчислимо вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення:

2) Висуваємо нульову гіпотезу : ознакамає нормальний закон розподілу ймовірностей. Для перевірки правильностівикористаємо критерій узгодженості Пірсона.

Обчислимо теоретичні частоти ,, для чого складемо розрахункову таблицю

xi	xi+1
–6,1	0,5	5	–2,14	–1,27	–0,4838	–0,3980	5
0,5	7,1	17	–1,27	–0,4	–0,3980	–0,1554	13
7,1	13,7	15	–0,4	0,47	–0,1554	0,1808	18
13,7	20,3	12	0,47	1,34	0,1808	0,4099	14
20,3	26,9	5	1,34	2,21	0,4099	0,4861	4

Обчислимо спостережуване значення критерію

,

для чого складемо розрахункову таблицю

5		5	0	0	0	25	5
17		13	4	16	1,23	289	22,23
15		18	–3	9	0,5	225	12,5
12		14	–2	4	0,29	144	10,29
5		4	1	1	0,25	25	6,25
	54	54			2,27		56,27

Отже, маємо

.

Для контролю правильності обчислень використаємо співвідношення

: .

Отже, обчислення виконані правильно.

Знайдемо число степенів вільності, враховуючи, що число груп вибірки , а число параметрів нормального розподілу:.

В таблиці критичних точок розподілу за рівнем значущостіта числом степенів вільностізнаходимо.

Оскільки 2,27=,=5,991, то відмінність емпіричних та теоретичних частот незначуща.

Статистичне рішення. Таким чином, гіпотеза про нормальний закон розподілу генеральної сукупності ознаки приймається.

Завдання 5. За критерієм при рівні значущостіперевірити правильність гіпотези однорідності двох вибірок.

6,9	5,2	6,7	3,3	-1,8	10,3	9,2	13,9	25,3	15,7
16,9	16	16,4	14,7	2,7	10,5	4,7	14,9	8,7	5,5
4,9	6,4	13,9	8,3	10,6	18,8	5,1	10	17,8	16,2
-10,3	-5,1	11,4	5,7	1,6	10,7	15,4	12,1	10,1	4,6
7,1	5,3	9,1	17,1	11,3	13,6	15,2	9,9	12	11,1

13	6,7	5,1	31,3	8	1	15,3	7,3	1,6	2,7
9,9	10,2	11,9	13,4	11,7	5,2	-1,3	19,9	16,8	1,9
11	21,9	7,8	-4,2	0,1	0,7	6,4	10,4	5,8	7,7
13,8	11,5	12,8	1,9	2,3	2,3	7,1	0,8	-9,9	18,9
15,5	11	3	3,5	3,9	11,9	7,2	19,1	0,4	12,7

Розв’язання.

1) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд для першої вибірки

–10,3	–5,1	–1,8	1,6	2,7	3,3	4,6	4,7	4,9	5,1
5,2	5,3	5,5	5,7	6,4	6,7	6,9	7,1	8,3	8,7
9,1	9,2	9,9	10	10,1	10,3	10,5	10,6	10,7	11,1
11,3	11,4	12	12,1	13,6	13,9	13,9	14,7	14,9	15,2
15,4	15,7	16	16,2	16,4	16,9	17,1	17,8	18,8	25,3

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд для першої вибірки

	–10,3- –4,4	–4,4-1,6	1,6- 7,5	7,5- 13,4	13,4- 19,4	19,4- 25,3
	2	1	15	16	15	1	50

2) Згрупуємо вибіркові дані, для чого побудуємо варіаційний ряд для другої вибірки

–9,9	–4,2	–1,3	0,1	0,4	0,7	0,8	1	1,6	1,9
1,9	2,3	2,3	2,7	3	3,5	3,9	5,1	5,2	5,8
6,4	6,7	7,1	7,2	7,3	7,7	7,8	8	9,9	10,2
10,4	11	11	11,5	11,7	11,9	11,9	12,7	12,8	13
13,4	13,8	15,3	15,5	16,8	18,9	19,1	19,9	21,9	31,3

і розрахуємо довжину інтервалу групування, взявши число груп вибірки :

.

Побудуємо інтервальний статистичний ряд для другої вибірки

	–9,9- –3	–3- 3,8	3,8- 10,7	10,7- 17,6	17,6- 24,4	24,4- 31,3
	2	14	15	14	4	1	50

3) Обчислимо спостережуване значення критерію , для чого складемо розрахункову таблицю

	1	2	3	4	5	6
	2	1	15	16	15	1	50
	2	14	15	14	4	1	50
	4	15	30	30	19	2	100
	0	–13	0	2	11	0
	0	11,27	0	0,13	4,03	0	15,43

Отже, маємо

.

Знайдемо число степенів вільності , враховуючи, що число груп вибірки:.

В таблиці критичних точок розподілу , за рівнем значущостіта числом степенів вільності, знаходимо.

Статистичне рішення: Оскільки 15,43 = =15,09, то гіпотеза однорідності двох вибірок не приймається.