ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Metod_FA_1

M, то Z

m¹(X) 6 f(x) d¹ 6 M¹(X):

X

Св о й с т в о 13. Пусть f – измерима, а ' такая суммируемая на X функция, что jfj 6 '; тогда f также суммируема.

Св о й с т в о 14. Если f1(x) 6 f(x) 6 f2(x), где f1; f2 – суммиру• емые, а f – измеримая функция, то f будет суммируемой.

Св о й с т в о 15. Пусть f – суммируемая функция, а g – ограни• ченная измеримая функция такая, что jg(x)j 6 c: Тогда функция f ¢ g суммируема, причем

XX

Св о й с т в о 18. Если ¹(A) = 0; то R f(x) d¹ = 0:

A

31

С в о й с т в о 19. Если f(x) = 0 почти всюду на X, то

Z

f(x) d¹ = 0:

X

С в о й с т в о 21. Если R jf(x)j d¹ = 0, то f(x) = 0 почти всюду

X

на X:

О п р е д е л е н и е 10. Назовем измеримую функцию f на X суще• ственно ограниченной, если 9c > 0, что jf(x)j 6 c почти всюду на

X. Наименьшая из таких констант называется существенной верхней гранью функции f и обозначается ess sup jf(x)j.

Теорема 15 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега).

Пусть f(x) – суммируемая на множестве A функция. Тогда для

измеримого множества E ½ A такого, что ¹(E) < ±.

Теорема 16 (¾-аддитивность интеграла Лебега). Пусть f –

суммируемая функция на множестве A и пусть A = `1k=1 Ak, где все Ak – измеримые множества. Тогда f суммируема по каждому Ak и

ZX1 Z

причем ряд сходится абсолютно.

32

ZX1 Z

Теорема 18 (Лебега о мажорированной сходимости).

Пусть (X; §; ¹) – пространство с конечной мерой. Если последо• вательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится почти всюду к функции f(x) и при этом существует суммируемая функция '; такая что для всех n jfnj 6 '; то f – суммируемая функция и

Теорема 19 (Беппо Леви). Пусть (X; §; ¹) – пространство с мерой и (fn)1n=1 – монотонно возрастающая последовательность сум• мируемых функций такая, что существует константа C > 0, что

Z

Следствие 6. Пусть 'n(x) – последовательность неотрицательных суммируемых функций и пусть числовой ряд

X1 Z

33

² '(x) = P1 'n(x);

n=1

² R '(x) d¹ = P1 R 'n(x) d¹:

Xn=1X

Теорема 20 (Фату). Пусть (X; §; ¹) – пространство с мерой и (fn)1n=1 – последовательность неотрицательных суммируемых функ• ций на множестве X; обладающая свойствами:

²fRn(x) ! f(x) почти всюду на X;

²fn(x) d¹ 6 C для всех n 2 N.

X

Тогда

²f суммируема;

²R f(x) d¹ 6 C.

X

Пусть X – пространство с ¾-конечной мерой. По определению ¾-конечной меры существует неубывающая последовательность изме•

римых множеств A1 µ A2 µ : : : ; для которых ¹(An) < +1 для всех

S1 An:

n=1

О п р е д е л е н и е 11. Измеримая функция f; заданная на множе• стве с ¾-конечной мерой ¹; называется суммируемой на X; если она суммируема на каждом An и

Z

lim f(x) d¹

n!1

An

существует и конечен и не зависит от выбора последовательности An: Этот предел называется интегралом Лебега от функции f и обознача• ется так R f(x) d¹:

X

Теорема 21. Если для функции, заданной на [a,b], существует

34

Теорема 22. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a;b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходи• мо и достаточно, чтобы множестве ее точек разрыва имело меру нуль.

Теорема 23. Для абсолютной сходимости несобственного инте•

и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a;b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

Zb Z

a[a;b]

Теорема 24. Для абсолютной сходимости несобственного инте• грала Римана ервого рода необходимо и достаточно, чтобы функция f была интегрируема по Лебегу на [a; + 1). При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 17. Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на отрезке [0; 1] следующие функции: £ £

1. f(x) = (¡1)nn , если x 2 1 ;1 n = 1; 2; : : :;

¡¢ n+1 n

2.f(x) = sign sin ¼x , x 2 [0;1].

Ре ш е н и е. 1) Функция f(x) является неограниченной, поэтому по

Риману она не интегрируема. f измерима, так как принимает счетное

35

2) Рассматриваемая функция f(x) также является простой, при• нимающей три значения: 1; ¡1 и 0: А именно: f(x) = 1 на множестве

Р е ш е н и е. Функция f(x) не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке, за исключением точек x = 0, x = 1, т. е. мера ее точек разрыва не меньше 1. Действительно, для любого a 2 (0;1) существуют последовательности (an) 2 (0;1)\Q и (bn) 2 (0;1)nQ такие,

что an ! a и bn ! a, но f(an) = a2n ! a2, а f(bn) ! a3, при этом a2 6= a3, т. е. интервал (0;1) – подмножество множества точек разрыва

функции.

Выясним, интегрируема ли функция по Лебегу. Так как эквива• лентные функции интегрируемы или неинтегрируемы одновременно и их интегралы совпадают, заменим f на эквивалентную функцию g(x) = x3; x 2 [0;1] ; ( f » g, так как ¹ fx : f 6= gg = ¹([0;1] \ Q) = 0 ).

36

Функция g(x) непрерывна и интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу и имеет место равенство

1

[0;1]

П р и м е р 19. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x),

где K – канторово множество, CK – его дополнение.

Р е ш е н и е. Функция f(x) эквивалентна на отрезке [0, 1] функции g(x)

(

g(x) =

так как ¹ fx : f =6 gg = ¹(K) = 0 . Поэтому

П р и м е р 20. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x), за• данной на отрезке [0; 1], если f(x) = 10 в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат треугольники, опирающиеся на эти интервалы, как на основания, высоты 1.

Р е ш е н и е. Воспользуемся аддитивностью интеграла Лебега и пред• ставим интеграл в виде суммы двух интегралов: первый по канторову множеству, он будет равен нулю, так как ¹(K) = 0 , а второй – по его дополнению.

37

и так далее. Следовательно,

ZX1 Z

На каждом Gk функция непрерывна и поэтому интегрируема по Рима• ну. Интеграл Римана равен площади треугольника, значит,

П р и м е р 21. При каких значениях параметров ® и ¯ функция f(x) = x® ¢ sin x¯ , x 2 (0;1),

²интегрируема по Лебегу;

²интегрируема по Риману в несобственном смысле.

Ре ш е н и е. Неограниченная на отрезке [a;b] функция интегрируема по Лебегу в том случае, когда она абсолютно интегрируема по Риману в несобственном смысле.

1 случай: ¯ > 0.

Итак, при ¯ > 0 функция интегрируема по Лебегу при ® > ¡1¡¯. Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы интеграл схо• дился условно. Используя признак Дирихле, получаем ®+1¯ ¡ 1 > 0,

следовательно ® > ¡1 ¡ ¯.

38

2 случай: ¯ < 0.

¡1. Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы ®+1¯ ¡ 1 < 0, следовательно ® > ¡1 + ¯.

Итак, функция f(x) = x® sin x¯ интегрируема по Лебегу при ® > ¡1 ¡ ¯ ( ¯ > 0 ) и ® > ¡1 ( ¯ < 0 ); по Риману при ® > ¡1 ¡ j¯j.

П р и м е р 22. Вычислить интеграл Лебега на интервале (0; + 1) от функции f(x) = e¡[x], где [¢] – целая часть.

Р е ш е н и е. Интервал (0; + 1) – пространство с ¾-конечной мерой, так как (0; + 1) = `1k=0 [k; k + 1) и ¹ ([k; k + 1)) = 1 < +1. На

каждом полуинтервале [k; k + 1) функция f(x) является простой, так как f(x) = e¡k при x 2 [k; k + 1).

Р е ш е н и е. Построим для измеримой функции f(x) = xÂRnQ(x), x 2 [0; 1] последовательность простых интегрируемых функций, равномер•

39

Кроме того, эта функциональная последовательность имеет мажоран• ту

Неотрицательная функция g интегрируема по Риману в несоб• ственном смысле, поэтому она интегрируема по Лебегу. Следовательно, по теореме Лебега f также интегрируема по Лебегу на R и справедливо равенство

40