ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Metod_FA_1
.pdfТема 1. КОЛЬЦО, ПОЛУКОЛЬЦО, МЕРА НА ПОЛУКОЛЬЦЕ
Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его под• множеств.
О п р е д е л е н и е 1. Непустое семейство K ½ P(X) называют кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A 2 K и B 2 K вытекает, что A 4 B 2 K; A \ B 2 K.
Утверждение 1. Пусть K ½ P(X) – кольцо. Тогда для любых множеств A;B 2 K выполнено A [ B 2 K, A n B 2 K и B n A 2 K.
О п р е д е л е н и е 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X 2 K. X в этом случае называется единицей кольца.
Теорема 1. Для любой непустой системы множеств
S½ P(X) существует одно и только одно минимальное коль• цо K(S), т. е. такое кольцо множеств, которое содержит систему
S, и которое содержится в любом другом кольце, содержащем систему S.
О п р е д е л е н и е 3. Непустая система S ½ P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое мно• жество, замкнута по отношению к операции пересечения и облада•
ет тем свойством, что если A; B 2 |
S, то найдется конечная система |
C1; : : : ;Cn попарно непересекающихся множеств из S, что |
|
|
n |
A n B = |
kG |
Ck: |
|
|
=1 |
Утверждение 2. Пусть непустая система K ½ P(X) облада• ет свойствами:
1)для любого A 2 K его дополнение X n A = CA 2 K;
2)для любых A;B 2 K выполнено A [ B 2 K.
Тогда K является алгеброй.
Лемма 1. Пусть A1; A2; : : : ; An; A 2 S и Ai \ Aj = ?; (i 6= j);
причем все множества Ai ½ A: Тогда набор множеств Ai(i = 1;
1
2; : : : ;n) можно дополнить множествами An+1; : : : ; Am 2 S до конеч•
ного разложения
Gm
A = Ai (m > n)
i=1
множества A:
Теорема 2. Пусть S ½ P(X) – полукольцо, тогда минималь• ное кольцо K(S), порожденное S, совпадает с системой множеств, допускающих конечные разложения, т. е.
n nG(A) o
K(S) = A : A = Ai; Ai 2 S :
i=1
О п р е д е л е н и е 4. Пусть на некотором множестве X задано полу• кольцо S ½ P(X). Будем говорить, что на S задана мера, если каж• дому элементу A 2 S поставлено в соответствие вещественное число m(A) 2 R и при этом выполнены следующие условия:
1)m(A) > 0 для любого A 2 S (неотрицательность);
2)если A = Fn Ai; A; Ai 2 S, то m(A) = Pn m(Ai) (аддитивность).
i=1 |
i=1 |
О п р е д е л е н и е 5. Мера m; заданная на полукольце S 2 P(X) называется счетно-аддитивной (¾-аддитивной), если для любых
A1; A2; : : : 2 S таких, что A = F1 Ai 2 S выполнено
i=1 |
|
1 |
|
Xi |
(1.1) |
m(A) = m(Ai): |
|
=1 |
|
С в о й с т в о 1 ( Монотонность меры). Пусть A; B 2 K и при этом A µ B: Тогда
m(A) 6 m(B): |
(1.2) |
С в о й с т в о 2 (Субтрактивность меры). Если A; B 2 K и |
|
A µ B; то |
(1.3) |
m(B n A) = m(B) ¡ m(A): |
|
С в о й с т в о 3. Пусть A; B 2 K, тогда |
(1.4) |
m(A [ B) = m(A) + m(B) ¡ m(A \ B): |
2
С в о й с т в о 4. Если A; B 2 K, то
m(A 4 B) = m(A) + m(B) ¡ 2m(A \ B): |
(1.5) |
С в о й с т в о 5. Для любых множеств A; B 2 K выполняется
jm(A) ¡ m(B)j 6 m(A 4 B): |
(1.6) |
С в о й с т в о 6. Для любых множеств A; B; C 2 K имеет место следующее неравенство
m(A 4 B) 6 m(A 4 C) + m(C 4 B): |
(1.7) |
С в о й с т в о 7 (счетная полуаддитивность меры). Пусть
1
A1; A2; : : : 2 K и A = Ai 2 K и пусть мера m; заданная на K;
¾-аддитивна, тогда |
=1 |
|
iS |
|
|
|
1 |
|
|
Xi |
(1.8) |
|
m(A) 6 m(Ai): |
|
|
=1 |
|
Теорема 3. Пусть на числовой прямой R задано полукольцо, по• рожденное системой полуинтервалов [a;b): Тогда длина полуинтерва• ла является ¾-аддитивной мерой.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
П р и м е р 1. Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная
формула меру на P(Z), если ¹(A) = P n1 , ¹(A) = ?, если A
16n2A
Р е ш е н и е. Функция ¹ не не определяет меру, поскольку множество натуральных чисел N ½ P (Z) и ¹(N) = 1, т. е. ¹ не является отобра• жением P(Z) в R.
П р и м е р 2. Пусть X – произвольное множество. Выяснить, яв• ляется ли мерой на P(X) следующая функция множеств:
²¹(?) = 0;P
²¹(A) = (¡1)n+12¡nÂA(xn),
16n2N
где (xn)1n=1 – фиксированная последовательность.
3
Р е ш е н и е. Функция ¹ является отображением из P(X) в R, так как ряд P(¡1)n+12¡nÂA(xn) сходится, но не является мерой, потому что не
n
выполнено условие положительности ¹. Если множество A содержит только x2, то ¹(A) = ¡0;25.
П р и м е р 3. Пусть на множестве X = [¡1; 1) задано полукольцо S, порожденное системой полуинтервалов f[a;b); ¡1 6 a < b < 1g и F : X ! R и F (x) = sign x. Определим на S функцию ¹ по формуле ¹([a;b)) = F (b) ¡ F (a). Является ли ¹ ¾-аддитивной мерой.
Р е ш е н и е. Функция F является неубывающей, ограниченной, имею• щей одну точку разрыва x = 0. Следовательно, F порождает меру. Покажем, что мера ¹ не является ¾-аддитивной. Рассмотрим полуин• тервал [¡21;0) и представим его в виде счетного объединения попарно непересекающихся полуинтервалов следующим образом:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡1 |
;0 = |
a |
[a |
;b |
); |
a |
|
= |
¡1 |
; |
lim b |
|
= 0: |
· 2 |
|
|
|
|
||||||||||
¶ |
k=1 |
k |
k |
|
|
1 |
|
2 |
|
k!1 |
k |
|
||
Тогда ¹ ¡[¡21;0[¢ = F (0) ¡F (¡21) = 0 ¡(¡1) = 1. Далее рассмотрим ряд |
||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X |
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||
¹([ak;bk)) = |
|
¹([ak;ak+1)) = |
|
(F (ak+1) ¡ F (ak)): |
||||||||||
k=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
||
Составим последовательность |
частичных |
сумм этого ряда |
Sn = F (an) ¡ F (a1) = (¡1) ¡ (¡1) = 0. Следовательно, lim Sn = 0, но
n!1
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
nlim!1 Sn = (F (ak+1) ¡ F (ak)) = 0 = |
k=1 |
¹([ak;ak+1)): |
|
|
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = ¹([¡1 |
;0[) |
kP |
¹([a |
;a |
|
)) |
= 0 |
|
|
= |
1 |
|
||||||
Итак, мы получили, что |
2 |
|
6 |
=1 |
k |
|
k+1 |
|
. |
Тем самым доказано, что мера ¹ не является ¾-аддитивной. Обратим внимание, что функция F не является непрерывной слева.
П р и м е р 4. Пусть X = f(x;y) 2 R2 : x2 + y2 = 1g, S – сово• купность дуг, содержащихся в X, замкнутых слева и открытых справа S = f[®;¯) : 0 6 ® < ¯ 6 2¼g; h(x;y)) – неотрицательная, непрерывная
4
на прямоугольнике [0;2¼]£[0;1] функция. Пусть F (t) = Rt R1 h(x;y) dxdy
0 0
функция, заданная на [0;2¼]. Положим
Z¯ Z1
¹([®;¯)) = F (®) ¡ F (¯) = |
h(x;y) dxdy: |
® 0
Задает ли F ¾-аддитивную меру.
Ре ш е н и е. Функция F как интеграл Римана с переменным верхним пределом является неубывающей, непрерывной слева, следовательно, ¹ является ¾-аддитивной мерой.
Пр и м е р 5. Пусть ¹ – мера, заданная на кольце множеств K. Доказать, что если для A,B 2 K и ¹(A¢B) = 0, то ¹(A) = ¹(B).
Ре ш е н и е. Воспользуемся свойством меры 5. Тогда для любых мно•
жеств A; B 2 K имеем j¹(A) ¡ ¹(B)j 6 ¹(A¢B). Следовательно,
0 6 j¹(A) ¡ ¹(B)j 6 0, т. е. ¹(A) = ¹(B).
Задание 1. Образуют ли полукольцо, кольцо, ¾-кольцо, алгебру,
¾-алгебру следующие системы множеств:
1.1.Все ограниченные множества на прямой;
1.2.Все конечные, счетные множества на прямой;
1.3.Все ограниченные замкнутые множества на прямой;
1.4.Все всюду плотные множества в R;
1.5.Все множества, дополнения к которым конечны в R;
1.6.Все множества, дополнения к которым счетны в R;
1.7.Все компактные множества в R2;
1.8.Система всех подмножеств некоторого фиксированного множе•
ства;
1.9.Система таких подмножеств фиксированного множества X, что либо само множество этой системы счетно либо счетно его допол• нение;
1.10.Все выпуклые множества на плоскости;
1.11.Все множества, инвариантные относительно вращения вокруг начала координат;
1.12.Множество всех многоугольников на плоскости;
5
1.13.Все множества на плоскости, инвариантные относительно рас• тяжений и сжатий;
1.14.Все конечные подмножества некоторого множества X.
Задание 2. Пусть X = fa;b;cg; полукольцо S = P(X). Постро•
ить, если возможно, меру на S так, чтобы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.1. m(fag) = 2; |
|
|
m(fa;bg) = 5; |
m(fa;b;cg) = 8; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.2. m(fbg) = 2; |
|
|
m(fb;cg) = 6; |
m(fa;b;cg) = 7; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.3. m(fcg) = 1; |
|
|
m(fa;cg) = 5; |
m(fc;bg) = 8; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.4. m(fag) = 1; |
|
|
m(fa;cg) = 4; |
m(fa;b;cg) = 5; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.5. m(fbg) = 2; |
|
m(fa;bg) = 3; |
m(fa;b;cg) = 4; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.6. m(fcg) = 1; |
|
|
m(fb;cg) = 4; |
m(fa;cg) = 6; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.7. m(fa;bg) = 2; |
m(fb;cg) = 4; |
|
m(fa;cg) = 6; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.8. m(fa;cg) = 5; |
m(fc;bg) = 6; |
|
m(fa;bg) = 8; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.9. m(fcg) = 3; |
|
|
m(fa;cg) = 5; |
m(fb;cg) = 4; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.10. m(fb;cg) = 5; |
m(fa;cg) = 5; |
m(fa;b;cg) = 10; |
|
|
|
|
||||||||||||||
2.11. m(fa;bg) = 2; |
m(fb;cg) = 6; |
m(fa;b;cg) = 8; |
|
|
|
|
||||||||||||||
2.12. m(fbg) = 1; |
m(fb;cg) = 2; |
|
m(fa;b;cg) = 5; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.13. m(fa;cg) = 5; |
m(fa;bg) = 7; |
m(fa;b;cg) = 8; |
|
|
|
|
||||||||||||||
2.14. m(fcg) = 3; |
m(fb;cg) = 4; |
|
m(fa;cg) = 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 3. Пусть X = N, K – кольцо, состоящее из конечных |
||||||||||||||||||||
подмножеств множества |
N |
. Задает ли данная формула меру на |
K |
? |
||||||||||||||||
3.1. m(A) = |
|
|
1 ; |
|
|
|
|
3.2. m(A) = min n; |
|
|
||||||||||
|
|
n A |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2A |
|
|
|
|
||||
3.3. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. |
m(A) = |
|
e |
n |
; |
|
|
m(A) = max n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
P |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
n |
|
¡ |
|
|
|||||
|
|
n2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
(n2 ¡ n + 1); |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3.5. m(A) = |
|
|
3.6. m(A) = P (n2 ¡ 6n + 3); |
|||||||||||||||||
|
|
n2A |
|
1 |
|
n |
|
|
|
n2A |
|
|
|
|
||||||
|
m(A) = |
|
A |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|||||||
3.7. |
P¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
j |
j |
|
n2A 1 |
|
|
– среднее арифметическое; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. m(A) = |
|
|
|
|
A |
|
|
– среднее геометрическое; |
|
|
|
|
|
|
||||||
µn2A n¶j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.9. m(A) = |
|
Qn2 ¡ 12n + 35; |
|
3.10. m(A) = |
|
|
e¡2n + 1; |
|||||||||||||
|
|
n2A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n2A |
|
|
|
|
||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
||
3.11. m(A) = |
µn2A n2 |
¶ jAj¡1 – среднее квадратическое; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
P |
1 |
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.12. m(A) = |
|
|
|
|
|
|
|
jAj – среднее гармоническое; |
|
|
|
|
||||||||
µn2A n¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
где |
|
|
– |
|
P |
|
P |
|
||
3.13. m(A) = |
1 |
; |
3.14. m(A) = |
|
1 |
, |
||||
2n |
n3 |
|||||||||
|
A |
|
|
|
n2A |
|
n2A |
|
||
j |
j |
|
количествово элементов множества A. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Пусть X = [¡1;1), полукольцо S = f[a;b) ½ Xg, m([a;b)) = F (b)¡F (a). При каких значениях параметра ® эта формула задает меру, ¾-аддитивную меру. Если мера не является ¾-аддитивной,
то указать полуинтервал [®;¯) и его разбиение [®;¯) = |
1 |
[®k;¯k) такое, |
||||||||||
=1 |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что m([®;¯)) 6= |
m([®k;¯k)). |
|
|
|
k` |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
x; x 2 [¡1;0); |
|||
|
Px + 2; x 2 [¡1;¡21); |
4.2. F (x) = 8 |
||||||||||
4.1. F (x) = |
8 |
®; x = ¡21; |
|
1 |
®; x = 0; |
|||||||
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
> x + 4; x 2 (¡2 ;1); |
|
> |
4; x 2 (0;1); |
||||||||
|
: x + 1; x |
[ |
|
1;0); |
|
:x; x 2 [¡1;¡21); |
||||||
4.3. F (x) = |
8 |
®; x = 0;2 |
|
¡ |
|
4.4. F (x) = |
8 |
®; x = ¡21; |
||||
|
> |
|
2 |
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
> x + 3; x 2 (0;1); |
|
> |
1; x 2 (¡2 ;1); |
||||||||
|
: x ¡ 1; x 2 [¡1;¡31); |
|
: |
¡1; x 2 [¡1;¡51); |
||||||||
4.5. F (x) = |
8 |
®; x = ¡31; |
|
1 |
4.6. F (x) = |
8 |
®; x = ¡51; |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
> x + 2; x 2 (¡3 ;1); |
|
> x + 1; x 2 (¡5 ;1); |
|||||||||
|
: |
¡1; x 2 [¡1;¡41); |
|
: |
1; x 2 [¡1;21); |
|||||||
4.7. F (x) = |
8 |
®; x = ¡41; |
|
|
|
4.8. F (x) = |
8 |
®; x = 21; |
||||
|
> |
|
|
1 |
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
> x; x 2 (¡4 ;1); |
|
> x + 3; x 2 (2;1); |
|||||||||
|
: x; x 2 [¡1;0); |
|
: |
¡2; x 2 [¡1;31); |
||||||||
4.9. F (x) = |
8 |
®; x = 0; |
|
|
|
4.10. F (x) = 8 |
®; x = 31; |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
< |
3; x 2 (0;1); |
|
|
< |
|
|
|||||
|
> |
|
|
> x + 2; x 2 (3;1); |
||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
7
4.11. F (x) = |
8 |
®; x = 0; |
4.12. F (x) = 8 |
®; x = 21; |
||||
|
> |
x ¡ 1; x 2 [¡1;0); |
|
> |
x + 2; x 2 [¡1;21); |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
< |
|
|
< |
|
|
|
|
|
: |
5; x 2 (0;1); |
|
: |
2 |
|
1 |
|
|
> |
|
> |
5; x 2 (2 |
;1); |
|||
|
> |
¡1; x 2 [¡1;0); |
|
> |
x ¡ 2; x 2 [¡1;3); |
|||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
||
|
< |
|
|
< |
|
|
|
|
4.13. F (x) = |
8 |
®; x = 0; |
4.14. F (x) = |
8 |
®; x = 31; |
|
||
|
: |
|
|
: |
|
|
|
|
|
> x + 4; x 2 (0;1); |
|
> x + 4; x 2 (3;1): |
Тема 2. ЛЕБЕГОВСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. МЕРА В Rn
Пусть задано множество X и S ½ P(X) – полукольцо его подмно• жеств, на котором задана мера m.
О п р е д е л е н и е 1. Мера ¹, заданная на кольце K называется про• должением меры m, если S ½ K и для всех A 2 S выполняется равен• ство ¹(A) = m(A).
Теорема 1. Пусть m – мера на полукольце S ½ P(X) и K(S)минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера ¹, являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце S ½ P(X) является ¾-аддитивной, то ее продол• жение также ¾-аддитивная мера.
Пусть K ½ P(X) – алгебра подмножеств множества X, m – ¾-ад- дитивная мера на K.
О п р е д е л е н и е 2. Внешней мерой множества A ½ X называет•
ся число |
|
|
|
|
1 |
¹¤(A) = |
|
|
|
|
|
S |
inf |
|
|
m(Aj); |
|
A |
1 |
Aj;Aj |
½ |
K |
=1 |
|
|||||
|
½j=1 |
|
Xi |
где нижняя грань берется по всевозможным конечным или счетным покрытиям множества A элементарными множествами Aj .
Св о й с т в о 1. Если A ½ K, то ¹¤(A) = m(A).
Св о й с т в о 2. Для всех A ½ X ¹¤(A) > 0 и ¹¤(?) = 0.
8
Св о й с т в о 3. Для всех A; B ½ X и A µ B справедливо нера• венство ¹¤(A) 6 ¹¤(B).
Св о й с т в о 4. Внешняя мера счетно-полуаддитивна, т. е. для всех B1; B2; ¢ ¢ ¢ µ X имеет место неравенство:
¹¤ Ã[1 Bk! 6 X1 ¹¤(Bk):
k=1 k=1
С в о й с т в о 5. Для всех A; B; C ½ X
¹¤(A 4 B) 6 ¹¤(A 4 C) + ¹¤(B 4 C):
С в о й с т в о 6. Для любых A; B ½ X
j¹¤(A) ¡ ¹¤(B)j 6 ¹¤(A4B):
О п р е д е л е н и е 3. Внутренней мерой множества A ½ X назы•
вается число
¹¤(A) = ¹(X) ¡ ¹¤(A):
Для всех A ½ X имеет место неравенство ¹¤(A) 6 ¹¤(A). Пусть m – полная, счетно-аддитивная, конечная мера.
О п р е д е л е н и е 4. Множество A ½ X называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств K, если выполняется равенство
¹¤(A) + ¹¤(XnA) = ¹(X):
Совокупность измеримых множеств обозначим §. Для измеримого по Лебегу множества определим меру
¹(A) = ¹¤(A); A 2 §:
Теорема 2 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X; §; m). Тогда для всех A ½ X следующие утверждения эквивалентны:
1.измеримо по Лебегу относительно меры m;
9
2. для любого " > 0 существует B 2 K такое, что
¹¤(A 4 B) < ":
Следствие 1. Множество A ½ X измеримо, если для всех " > 0 существует измеримое множество B такое, что ¹¤(A4B) < ".
Теорема 3 (о ¾-алгебре измеримых множеств). Совокупность
§ измеримых по Лебнгу множеств образует ¾-алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение ¹ внешней меры ¹¤ на измеримые множества является мерой на §.
Следствие 2. Счетное пересечение измеримых множеств измери•
мо.
Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из A 2 K; B ½ A и ¹(A) = 0 следует, что B 2 K и m(B) = 0.
Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.
Пусть X = [a;b) – некоторый фиксированный полуинтервал пря• мой, S ½ P(X) полукольцо, состоящее из полуинтервалов [®; ¯) ½ X. Пусть K – алгебра подмножеств, порожденная полукольцом S, каж•
дый элемент которой имеет вид A = `n
j=1
валы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца,
Pn (¯j ¡ ®j). Для произвольного множества A ½ [a;b)
|
|
j=1 |
|
|
|
1 |
(¯j ¡ ®j), где точная ниж• |
определим внешнюю меру ¹¤(A) = inf |
|||
|
|
=1 |
|
няя грань берется по всем таким наборамjP |
полуинтервалов [®; ¯), что |
||
A ½ |
S |
[®k; ¯k). Множество A ½ X называется измеримым по Лебе• |
k
гу, если ¹¤(A) + ¹¤(XnA) = b ¡ a. Таким образом, мерой Лебега ¹ на отрезке называется лебеговское продолжение длины.
Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множе• ства:
1.Множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера рав• на нулю;
10