Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
60
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
384.25 Кб
Скачать

Тема 1. КОЛЬЦО, ПОЛУКОЛЬЦО, МЕРА НА ПОЛУКОЛЬЦЕ

Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его под• множеств.

О п р е д е л е н и е 1. Непустое семейство K ½ P(X) называют кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A 2 K и B 2 K вытекает, что A 4 B 2 K; A \ B 2 K.

Утверждение 1. Пусть K ½ P(X) – кольцо. Тогда для любых множеств A;B 2 K выполнено A [ B 2 K, A n B 2 K и B n A 2 K.

О п р е д е л е н и е 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X 2 K. X в этом случае называется единицей кольца.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств

S½ P(X) существует одно и только одно минимальное коль• цо K(S), т. е. такое кольцо множеств, которое содержит систему

S, и которое содержится в любом другом кольце, содержащем систему S.

О п р е д е л е н и е 3. Непустая система S ½ P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое мно• жество, замкнута по отношению к операции пересечения и облада•

ет тем свойством, что если A; B 2

S, то найдется конечная система

C1; : : : ;Cn попарно непересекающихся множеств из S, что

 

n

A n B =

kG

Ck:

 

=1

Утверждение 2. Пусть непустая система K ½ P(X) облада• ет свойствами:

1)для любого A 2 K его дополнение X n A = CA 2 K;

2)для любых A;B 2 K выполнено A [ B 2 K.

Тогда K является алгеброй.

Лемма 1. Пусть A1; A2; : : : ; An; A 2 S и Ai \ Aj = ?; (i 6= j);

причем все множества Ai ½ A: Тогда набор множеств Ai(i = 1;

1

2; : : : ;n) можно дополнить множествами An+1; : : : ; Am 2 S до конеч•

ного разложения

Gm

A = Ai (m > n)

i=1

множества A:

Теорема 2. Пусть S ½ P(X) – полукольцо, тогда минималь• ное кольцо K(S), порожденное S, совпадает с системой множеств, допускающих конечные разложения, т. е.

n nG(A) o

K(S) = A : A = Ai; Ai 2 S :

i=1

О п р е д е л е н и е 4. Пусть на некотором множестве X задано полу• кольцо S ½ P(X). Будем говорить, что на S задана мера, если каж• дому элементу A 2 S поставлено в соответствие вещественное число m(A) 2 R и при этом выполнены следующие условия:

1)m(A) > 0 для любого A 2 S (неотрицательность);

2)если A = Fn Ai; A; Ai 2 S, то m(A) = Pn m(Ai) (аддитивность).

i=1

i=1

О п р е д е л е н и е 5. Мера m; заданная на полукольце S 2 P(X) называется счетно-аддитивной (¾-аддитивной), если для любых

A1; A2; : : : 2 S таких, что A = F1 Ai 2 S выполнено

i=1

 

1

 

Xi

(1.1)

m(A) = m(Ai):

=1

 

С в о й с т в о 1 ( Монотонность меры). Пусть A; B 2 K и при этом A µ B: Тогда

m(A) 6 m(B):

(1.2)

С в о й с т в о 2 (Субтрактивность меры). Если A; B 2 K и

A µ B; то

(1.3)

m(B n A) = m(B) ¡ m(A):

С в о й с т в о 3. Пусть A; B 2 K, тогда

(1.4)

m(A [ B) = m(A) + m(B) ¡ m(A \ B):

2

содержит только отрицательные числа.

С в о й с т в о 4. Если A; B 2 K, то

m(A 4 B) = m(A) + m(B) ¡ 2m(A \ B):

(1.5)

С в о й с т в о 5. Для любых множеств A; B 2 K выполняется

jm(A) ¡ m(B)j 6 m(A 4 B):

(1.6)

С в о й с т в о 6. Для любых множеств A; B; C 2 K имеет место следующее неравенство

m(A 4 B) 6 m(A 4 C) + m(C 4 B):

(1.7)

С в о й с т в о 7 (счетная полуаддитивность меры). Пусть

1

A1; A2; : : : 2 K и A = Ai 2 K и пусть мера m; заданная на K;

¾-аддитивна, тогда

=1

 

iS

 

 

1

 

 

Xi

(1.8)

 

m(A) 6 m(Ai):

 

=1

 

Теорема 3. Пусть на числовой прямой R задано полукольцо, по• рожденное системой полуинтервалов [a;b): Тогда длина полуинтерва• ла является ¾-аддитивной мерой.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная

формула меру на P(Z), если ¹(A) = P n1 , ¹(A) = ?, если A

16n2A

Р е ш е н и е. Функция ¹ не не определяет меру, поскольку множество натуральных чисел N ½ P (Z) и ¹(N) = 1, т. е. ¹ не является отобра• жением P(Z) в R.

П р и м е р 2. Пусть X – произвольное множество. Выяснить, яв• ляется ли мерой на P(X) следующая функция множеств:

²¹(?) = 0;P

²¹(A) = (¡1)n+12¡nÂA(xn),

16n2N

где (xn)1n=1 – фиксированная последовательность.

3

Р е ш е н и е. Функция ¹ является отображением из P(X) в R, так как ряд P(¡1)n+12¡nÂA(xn) сходится, но не является мерой, потому что не

n

выполнено условие положительности ¹. Если множество A содержит только x2, то ¹(A) = ¡0;25.

П р и м е р 3. Пусть на множестве X = [¡1; 1) задано полукольцо S, порожденное системой полуинтервалов f[a;b); ¡1 6 a < b < 1g и F : X ! R и F (x) = sign x. Определим на S функцию ¹ по формуле ¹([a;b)) = F (b) ¡ F (a). Является ли ¹ ¾-аддитивной мерой.

Р е ш е н и е. Функция F является неубывающей, ограниченной, имею• щей одну точку разрыва x = 0. Следовательно, F порождает меру. Покажем, что мера ¹ не является ¾-аддитивной. Рассмотрим полуин• тервал [¡21;0) и представим его в виде счетного объединения попарно непересекающихся полуинтервалов следующим образом:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡1

;0 =

a

[a

;b

);

a

 

=

¡1

;

lim b

 

= 0:

· 2

 

 

 

 

k=1

k

k

 

 

1

 

2

 

k!1

k

 

Тогда ¹ ¡[¡21;0[¢ = F (0) ¡F (¡21) = 0 ¡(¡1) = 1. Далее рассмотрим ряд

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

X

 

Xk

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

¹([ak;bk)) =

 

¹([ak;ak+1)) =

 

(F (ak+1) ¡ F (ak)):

k=1

 

=1

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

Составим последовательность

частичных

сумм этого ряда

Sn = F (an) ¡ F (a1) = (¡1) ¡ (¡1) = 0. Следовательно, lim Sn = 0, но

n!1

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Xk

 

 

X

 

 

 

 

 

 

nlim!1 Sn = (F (ak+1) ¡ F (ak)) = 0 =

k=1

¹([ak;ak+1)):

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = ¹([¡1

;0[)

kP

¹([a

;a

 

))

= 0

 

=

1

 

Итак, мы получили, что

2

 

6

=1

k

 

k+1

 

.

Тем самым доказано, что мера ¹ не является ¾-аддитивной. Обратим внимание, что функция F не является непрерывной слева.

П р и м е р 4. Пусть X = f(x;y) 2 R2 : x2 + y2 = 1g, S – сово• купность дуг, содержащихся в X, замкнутых слева и открытых справа S = f[®;¯) : 0 6 ® < ¯ 6 2¼g; h(x;y)) – неотрицательная, непрерывная

4

на прямоугольнике [0;2¼]£[0;1] функция. Пусть F (t) = Rt R1 h(x;y) dxdy

0 0

функция, заданная на [0;2¼]. Положим

Z¯ Z1

¹([®;¯)) = F (®) ¡ F (¯) =

h(x;y) dxdy:

® 0

Задает ли F ¾-аддитивную меру.

Ре ш е н и е. Функция F как интеграл Римана с переменным верхним пределом является неубывающей, непрерывной слева, следовательно, ¹ является ¾-аддитивной мерой.

Пр и м е р 5. Пусть ¹ – мера, заданная на кольце множеств K. Доказать, что если для A,B 2 K и ¹(A¢B) = 0, то ¹(A) = ¹(B).

Ре ш е н и е. Воспользуемся свойством меры 5. Тогда для любых мно•

жеств A; B 2 K имеем (A) ¡ ¹(B)j 6 ¹(A¢B). Следовательно,

0 6 (A) ¡ ¹(B)j 6 0, т. е. ¹(A) = ¹(B).

Задание 1. Образуют ли полукольцо, кольцо, ¾-кольцо, алгебру,

¾-алгебру следующие системы множеств:

1.1.Все ограниченные множества на прямой;

1.2.Все конечные, счетные множества на прямой;

1.3.Все ограниченные замкнутые множества на прямой;

1.4.Все всюду плотные множества в R;

1.5.Все множества, дополнения к которым конечны в R;

1.6.Все множества, дополнения к которым счетны в R;

1.7.Все компактные множества в R2;

1.8.Система всех подмножеств некоторого фиксированного множе•

ства;

1.9.Система таких подмножеств фиксированного множества X, что либо само множество этой системы счетно либо счетно его допол• нение;

1.10.Все выпуклые множества на плоскости;

1.11.Все множества, инвариантные относительно вращения вокруг начала координат;

1.12.Множество всех многоугольников на плоскости;

5

1.13.Все множества на плоскости, инвариантные относительно рас• тяжений и сжатий;

1.14.Все конечные подмножества некоторого множества X.

Задание 2. Пусть X = fa;b;cg; полукольцо S = P(X). Постро•

ить, если возможно, меру на S так, чтобы:

 

 

 

 

 

 

 

2.1. m(fag) = 2;

 

 

m(fa;bg) = 5;

m(fa;b;cg) = 8;

 

 

 

 

 

 

2.2. m(fbg) = 2;

 

 

m(fb;cg) = 6;

m(fa;b;cg) = 7;

 

 

 

 

 

 

2.3. m(fcg) = 1;

 

 

m(fa;cg) = 5;

m(fc;bg) = 8;

 

 

 

 

 

 

2.4. m(fag) = 1;

 

 

m(fa;cg) = 4;

m(fa;b;cg) = 5;

 

 

 

 

 

 

2.5. m(fbg) = 2;

 

m(fa;bg) = 3;

m(fa;b;cg) = 4;

 

 

 

 

 

 

2.6. m(fcg) = 1;

 

 

m(fb;cg) = 4;

m(fa;cg) = 6;

 

 

 

 

 

 

2.7. m(fa;bg) = 2;

m(fb;cg) = 4;

 

m(fa;cg) = 6;

 

 

 

 

 

 

2.8. m(fa;cg) = 5;

m(fc;bg) = 6;

 

m(fa;bg) = 8;

 

 

 

 

 

 

2.9. m(fcg) = 3;

 

 

m(fa;cg) = 5;

m(fb;cg) = 4;

 

 

 

 

 

 

2.10. m(fb;cg) = 5;

m(fa;cg) = 5;

m(fa;b;cg) = 10;

 

 

 

 

2.11. m(fa;bg) = 2;

m(fb;cg) = 6;

m(fa;b;cg) = 8;

 

 

 

 

2.12. m(fbg) = 1;

m(fb;cg) = 2;

 

m(fa;b;cg) = 5;

 

 

 

 

 

 

2.13. m(fa;cg) = 5;

m(fa;bg) = 7;

m(fa;b;cg) = 8;

 

 

 

 

2.14. m(fcg) = 3;

m(fb;cg) = 4;

 

m(fa;cg) = 5.

 

 

 

 

 

 

Задание 3. Пусть X = N, K – кольцо, состоящее из конечных

подмножеств множества

N

. Задает ли данная формула меру на

K

?

3.1. m(A) =

 

 

1 ;

 

 

 

 

3.2. m(A) = min n;

 

 

 

 

n A

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n2A

 

 

 

 

3.3.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4.

m(A) =

 

e

n

;

 

 

m(A) = max n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

;

 

 

 

 

 

 

n

 

¡

 

 

 

 

n2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

(n2 ¡ n + 1);

 

 

2

 

 

 

 

 

3.5. m(A) =

 

 

3.6. m(A) = P (n2 ¡ 6n + 3);

 

 

n2A

 

1

 

n

 

 

 

n2A

 

 

 

 

 

m(A) =

 

A

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

3.7.

P¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j

 

n2A 1

 

 

– среднее арифметическое;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.8. m(A) =

 

 

 

 

A

 

 

– среднее геометрическое;

 

 

 

 

 

 

µn2A nj

 

j

 

 

 

 

 

 

 

3.9. m(A) =

 

Qn2 ¡ 12n + 35;

 

3.10. m(A) =

 

 

e¡2n + 1;

 

 

n2A

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n2A

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

P

 

 

 

 

3.11. m(A) =

µn2A n2

jAj¡1 – среднее квадратическое;

 

 

 

 

 

P

1

 

¡1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.12. m(A) =

 

 

 

 

 

 

 

jAj – среднее гармоническое;

 

 

 

 

µn2A n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

где

 

 

 

P

 

P

 

3.13. m(A) =

1

;

3.14. m(A) =

 

1

,

2n

n3

 

A

 

 

 

n2A

 

n2A

 

j

j

 

количествово элементов множества A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. Пусть X = [¡1;1), полукольцо S = f[a;b) ½ Xg, m([a;b)) = F (b)¡F (a). При каких значениях параметра ® эта формула задает меру, ¾-аддитивную меру. Если мера не является ¾-аддитивной,

то указать полуинтервал [®;¯) и его разбиение [®;¯) =

1

[®kk) такое,

=1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что m([®;¯)) 6=

m([®kk)).

 

 

 

k`

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

x; x 2 [¡1;0);

 

Px + 2; x 2 [¡1;¡21);

4.2. F (x) = 8

4.1. F (x) =

8

®; x = ¡21;

 

1

®; x = 0;

 

>

 

 

 

 

 

>

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

> x + 4; x 2 (¡2 ;1);

 

>

4; x 2 (0;1);

 

: x + 1; x

[

 

1;0);

 

:x; x 2 [¡1;¡21);

4.3. F (x) =

8

®; x = 0;2

 

¡

 

4.4. F (x) =

8

®; x = ¡21;

 

>

 

2

 

 

 

 

 

>

 

1

 

<

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

> x + 3; x 2 (0;1);

 

>

1; x 2 (¡2 ;1);

 

: x ¡ 1; x 2 [¡1;¡31);

 

:

¡1; x 2 [¡1;¡51);

4.5. F (x) =

8

®; x = ¡31;

 

1

4.6. F (x) =

8

®; x = ¡51;

 

>

 

 

 

 

 

>

 

1

 

<

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

> x + 2; x 2 (¡3 ;1);

 

> x + 1; x 2 (¡5 ;1);

 

:

¡1; x 2 [¡1;¡41);

 

:

1; x 2 [¡1;21);

4.7. F (x) =

8

®; x = ¡41;

 

 

 

4.8. F (x) =

8

®; x = 21;

 

>

 

 

1

 

 

 

 

>

 

1

 

<

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

> x; x 2 (¡4 ;1);

 

> x + 3; x 2 (2;1);

 

: x; x 2 [¡1;0);

 

:

¡2; x 2 [¡1;31);

4.9. F (x) =

8

®; x = 0;

 

 

 

4.10. F (x) = 8

®; x = 31;

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>

 

1

 

<

3; x 2 (0;1);

 

 

<

 

 

 

>

 

 

> x + 2; x 2 (3;1);

 

:

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

7

4.11. F (x) =

8

®; x = 0;

4.12. F (x) = 8

®; x = 21;

 

>

x ¡ 1; x 2 [¡1;0);

 

>

x + 2; x 2 [¡1;21);

 

 

 

 

1

 

 

<

 

 

<

 

 

 

 

:

5; x 2 (0;1);

 

:

2

 

1

 

>

 

>

5; x 2 (2

;1);

 

>

¡1; x 2 [¡1;0);

 

>

x ¡ 2; x 2 [¡1;3);

 

2

 

 

 

 

1

 

<

 

 

<

 

 

 

 

4.13. F (x) =

8

®; x = 0;

4.14. F (x) =

8

®; x = 31;

 

 

:

 

 

:

 

 

 

 

 

> x + 4; x 2 (0;1);

 

> x + 4; x 2 (3;1):

Тема 2. ЛЕБЕГОВСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. МЕРА В Rn

Пусть задано множество X и S ½ P(X) – полукольцо его подмно• жеств, на котором задана мера m.

О п р е д е л е н и е 1. Мера ¹, заданная на кольце K называется про• должением меры m, если S ½ K и для всех A 2 S выполняется равен• ство ¹(A) = m(A).

Теорема 1. Пусть m – мера на полукольце S ½ P(X) и K(S)минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера ¹, являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце S ½ P(X) является ¾-аддитивной, то ее продол• жение также ¾-аддитивная мера.

Пусть K ½ P(X) – алгебра подмножеств множества X, m ¾-ад- дитивная мера на K.

О п р е д е л е н и е 2. Внешней мерой множества A ½ X называет•

ся число

 

 

 

 

1

¹¤(A) =

 

 

 

 

S

inf

 

 

m(Aj);

A

1

Aj;Aj

½

K

=1

 

 

½j=1

 

Xi

где нижняя грань берется по всевозможным конечным или счетным покрытиям множества A элементарными множествами Aj .

Св о й с т в о 1. Если A ½ K, то ¹¤(A) = m(A).

Св о й с т в о 2. Для всех A ½ X ¹¤(A) > 0 и ¹¤(?) = 0.

8

Св о й с т в о 3. Для всех A; B ½ X и A µ B справедливо нера• венство ¹¤(A) 6 ¹¤(B).

Св о й с т в о 4. Внешняя мера счетно-полуаддитивна, т. е. для всех B1; B2; ¢ ¢ ¢ µ X имеет место неравенство:

¹¤ Ã[1 Bk! 6 X1 ¹¤(Bk):

k=1 k=1

С в о й с т в о 5. Для всех A; B; C ½ X

¹¤(A 4 B) 6 ¹¤(A 4 C) + ¹¤(B 4 C):

С в о й с т в о 6. Для любых A; B ½ X

¤(A) ¡ ¹¤(B)j 6 ¹¤(A4B):

О п р е д е л е н и е 3. Внутренней мерой множества A ½ X назы•

вается число

¹¤(A) = ¹(X) ¡ ¹¤(A):

Для всех A ½ X имеет место неравенство ¹¤(A) 6 ¹¤(A). Пусть m – полная, счетно-аддитивная, конечная мера.

О п р е д е л е н и е 4. Множество A ½ X называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств K, если выполняется равенство

¹¤(A) + ¹¤(XnA) = ¹(X):

Совокупность измеримых множеств обозначим §. Для измеримого по Лебегу множества определим меру

¹(A) = ¹¤(A); A 2 §:

Теорема 2 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X; §; m). Тогда для всех A ½ X следующие утверждения эквивалентны:

1.измеримо по Лебегу относительно меры m;

9

т. е. m(A) =
[®j; ¯j), причем полуинтер•

2. для любого " > 0 существует B 2 K такое, что

¹¤(A 4 B) < ":

Следствие 1. Множество A ½ X измеримо, если для всех " > 0 существует измеримое множество B такое, что ¹¤(A4B) < ".

Теорема 3 (о ¾-алгебре измеримых множеств). Совокупность

§ измеримых по Лебнгу множеств образует ¾-алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение ¹ внешней меры ¹¤ на измеримые множества является мерой на §.

Следствие 2. Счетное пересечение измеримых множеств измери•

мо.

Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из A 2 K; B ½ A и ¹(A) = 0 следует, что B 2 K и m(B) = 0.

Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.

Пусть X = [a;b) – некоторый фиксированный полуинтервал пря• мой, S ½ P(X) полукольцо, состоящее из полуинтервалов [®; ¯) ½ X. Пусть K – алгебра подмножеств, порожденная полукольцом S, каж•

дый элемент которой имеет вид A = `n

j=1

валы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца,

Pn (¯j ¡ ®j). Для произвольного множества A ½ [a;b)

 

 

j=1

 

 

 

1

(¯j ¡ ®j), где точная ниж•

определим внешнюю меру ¹¤(A) = inf

 

 

=1

няя грань берется по всем таким наборамjP

полуинтервалов [®; ¯), что

A ½

S

[®k; ¯k). Множество A ½ X называется измеримым по Лебе•

k

гу, если ¹¤(A) + ¹¤(XnA) = b ¡ a. Таким образом, мерой Лебега ¹ на отрезке называется лебеговское продолжение длины.

Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множе• ства:

1.Множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера рав• на нулю;

10

Соседние файлы в папке МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА