ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Metod_FA_1
.pdf5.6. Пусть A – ограниченное множество на числовой прямой и a 2 R. Доказать, что множество A + a = fx + a; x 2 Ag измеримо и ¹(A + a) = ¹(A).
Тема 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть задано пространство с мерой (X; §; ¹).
О п р е д е л е н и е 7. Действительная функция f : X ! R называет• ся измеримой, если для любого c 2 R множество Ac = fx: f(x) < cg измеримо (здесь R – расширенная числовая прямая). Комплекснознач• ная функция g + ih измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части.
Лемма 1. Числовая функция f : X ! R измерима тогда и толь• ко тогда, когда для любого c 2 R измеримо одно из множеств fx : f(x) 6 cg; fx : f(x) > cg; fx : f(x) > cg:
Теорема 5. Пусть f : X ! R – измеримая функция. Тогда для любой измеримой функции g : R ! R их композиция h = g ±f также измерима на X:
Будем говорить, что две определенные на множестве X функции эквивалентны, если они равны между собой почти всюду, т. е. равны между собой для всех x 2 X за исключением, быть может, точек, принадлежащих множеству нулевой меры.
Лемма 2. Функция f(x); определенная на множестве X и экви• валентная на нем измеримой функции g(x); так же измерима.
Теорема 6. Пусть (X;§; ¹) – пространство с мерой и f; g : X ! R – измеримые функции. Тогда функции ®f; f2; f § g; f ¢ g; f=g (при условии, что g(x) =6 0 на X), ® 2 R; измеримы.
1. Равномерная сходимость.
Последовательность измеримых функций fn сходится к функции f равномерно, если для любого " > 0 существует номер n" такой, что для всех n > n" выполнено
sup jfn(x) ¡ f(x)j < ":
x2X
21
Равномерная сходимость обозначается так: fn ¶ f:
2. Точечная сходимость.
Последовательность fn сходится к функции f точечно, если для
любого x 2 X fn(x) ! f(x) при n ! 1.
3. Сходимость почти всюду.
п.в.
Последовательность fn сходится к f почти всюду (fn ¡¡¡! f);
n!1
если fn(x) ! f(x) при n ! 1 для всех точек x за исключением, быть может, тех x; которые принадлежат множеству меры нуль.
4. Сходимость по мере.
Сходимость по мере последовательности измеримых функций fn
¹
к измеримой функции f обозначается fn ¡¡¡! f и означает, что для
n!1
любого " > 0 мера множества
An(") = ©x: jfn(x) ¡ f(x)j > "ª
стремится к нулю при n ! 1:
Теорема 7. Пусть X; §; ¹ – пространство с мерой и (fn)1n=1 – последовательность измеримых функций. Если fn сходится в каж• дой точке x 2 X к функции f; то функция f измерима.
Следствие 3. Если последовательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится к f равномерно, то f измерима.
Следствие 4. Если последовательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится к f почти всюду, то предельная функция измерима.
Следствие 5. Существует разрывная на отрезке [a;b] функция, ко• торая не является пределом почти всюду сходящейся последовательно• сти непрерывных функций.
Теорема 8 (Лебег). Пусть (X; §; ¹) – пространство с полной конечной ¾-аддитивной мерой и пусть последовательность (fn)1n=1 измеримых функций сходится к функции f почти всюду. Тогда она сходится к той же самой предельной функции и по мере.
Теорема 9 (Рисс). Пусть (X; §; ¹) – пространство с полной ¾-аддитивной мерой и пусть последовательность (fn)1n=1 измери• мых функций сходится по мере к измеримой функции f: Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность (fnk )1k=1 ½ (fn), сходящуюся к f почти всюду.
22
Теорема 10 (Егоров). Пусть дана последовательность (fn)1n=1 измеримых функций, сходящаяся на измеримом множестве X с ко• нечной мерой к функции f: Тогда для любого ± > 0 найдется такое измеримое множество X± ½ X, что:
1)¹(X n X±) < ±;
2)на множестве X± последовательность fn(x) сходится к f(x)
равномерно.
Теорема 11 (Лузин). Пусть задана измеримая функция f(x) на измеримом множестве X, расположенном на [a; b]. Каково бы ни было число " > 0 из X можно изъять такую часть, которую можно покрыть системой интервалов с суммой длин < ", что на оставшемся множестве функция f(x) будет непрерывной.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
П р и м е р 7. На числовой прямой R с мерой Лебега любая непре• рывная функция измерима.
Р е ш е н и е. Действительно, множество Ac = fx: f(x) < cg является прообразом открытого множества f¡1(¡1;c); которое измеримо как борелевское множество.
П р и м е р 8. Пусть (fn(x))1n=1 – последовательность измеримых
на X функций. Тогда функции sup fn(x), inf fn(x) также измеримы |
|
n |
n |
на X. |
|
Р е ш е н и е. Обозначим через h(x) = sup fn(x). Измеримость h(x) озна•
n
чает, что для любого c 2 R измеримы множества Ac = fxj h(x) > cg. Покажем, что = fxj h(x) > cg = Sfxj fn(x) > cg, это и будет означать
n
измеримость h.
Пусть x 2 Ac, т. е. h(x) > c. Тогда h(x) > c + " при достаточно малом " > 0. По определению точной верхней границы найдется такой
номер n0, что fn0(x) > h(x) ¡ ". Отсюда fn0(x) > (c + ") ¡ " = c и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
потому x 2 fxj fn0(x) > cg, а тем более, x 2 |
n fxj fn(x) > cg. |
|||||||||
С другой стороны, пусть x |
2 |
Sf |
x |
2 |
X |
j |
fn(x) > c |
g |
. Это значит, что |
|
|
|
|
|
|
n
найдется такой номер n0, что fn0(x) > c. Но тогда h(x) > fn0(x) > c, т. е. x 2 Ac. Равенство доказано.
23
Аналогично доказывается измеримость функции inf fn(x).
n
П р и м е р 9. Определим функцию f(x) на [0;1] следующим обра• зом. Если x = 0;n1n2; : : : – десятичная запись числа x, то f(x) =
= max ni. Показать, что функция f(x) измерима.
i
Р е ш е н и е. Рассмотрим множество чисел отрезка [0;1], в десятичной записи которых присутствует цифра 9. Мера данного множества равна
101 + 9 1012 + : : : + 9n¡1 101n + : : : = 1:
Следовательно, функция f(x) равна 9 почти всюду. Функция f(x) измерима как постоянная функция.
П р и м е р 10. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда измерима функция sin f.
Р е ш е н и е. Обозначим через g(x) = sin x, тогда при измеримости функции f имеем h(x) = g(f(x)) = sin f(x) – композиция непрерывной
иизмеримой и поэтому sin f будет измеримой.
Сдругой стороны, пусть измерима функция h(x) = sin f(x), пока• жем, что измерима функция f. Измеримость sin f означает, что для любого 2 R измеримо множество
|
|
|
|
|
|
ff(x) : sin f(x) > cg = |
|
|||
|
|
f(x) |
2 |
R; |
|
|
c < ¡1; |
|||
|
= |
8 f(x) |
(¡ arcsin c + 2¼k; arcsin c + 2¼k); |
¡1 6 c 6 1; |
||||||
|
|
< f(x) |
2 |
?; |
|
|
c > 1: |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким |
образом, измеримыми являются пустое множество, числовая |
|||||||||
: |
|
|
|
|
S |
|
|
|||
прямая R и для 8c 2 R множество |
1 |
arcsin c 2 [¡¼=2; ¼=2]. |
||||||||
k=¡1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П р и м е р 11. Доказать, что функция y = f(x), x 2 R, измерима |
|||||||||
на R, если |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) f(x) = sin[x], где [x] – целая часть числа x 2 R; 2) f(x) = |
|||||||||
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 arctg |
x |
|
: |
|
|
|
|
||
4 |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
=1 |
x +n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Р е ш е н и е. 1) Функция f(x) принимает счетное число значений sin k;
k 2 Z. А именно, f(x) = sin k, если x 2 Ak = [k; k + 1) и [k[k; k + 1] =
R. Так как промежутки Ak являются измеримыми, то f(x) является простой функцией и, следовательно, измеримой.
2) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными функциями и поэтому измеримы. Если x > 0, то эквивалентность arctg x4+xn4 » n14 при n ! 1 позволяет сделать вывод о равномерной сходимости этого функционального ряда для x > 0. Аналогично,
если x < 0, то arctg |
x |
|
» ¡ |
1 |
при n ! 1, и поэтому для x < 0 |
||||||||||||||
x4+n4 |
n4 |
||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ряд |
1 arctg |
x |
сходится равномерно. Тогда |
|
его |
сумма является |
|||||||||||||
x4+n4 |
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
непрерывной, а значит, измеримой функцией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
П р и м е р 12. Доказать, что функция z |
= |
f(x; y), (x; y) 2 R2 |
||||||||||||||||
является измеримой на R2 |
, если f(x;y) = |
1 |
arctg |
|
|
n[xy] |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
3 |
2 2 |
] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
1+n |
[x +y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
2 |
+y |
2 |
] простые, то они |
||||
Р е ш е н и е. Поскольку функции z = [xy] и z = [x |
|
|
измеримы на плоскости. Измеримой для каждого номера n является
1 |
|
n[xy] |
|
|
функция fn(x;y) = |
arctg |
|
|
. Из сходимости функционально• |
1+n3[x2+y2] |
||||
=1 |
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
го ряда (что устанавливается с помощью признака сравнения) следует измеримость на R2 функции f(x;y).
П р и м е р 13. Для функции f построить последовательность про•
стых измеримых функций, равномерно сходящуюся к f, если |
|
0; |
x 6 0; |
f(x) = ½ arctg x; |
x > 0: |
Р е ш е н и е. Исходя из теоремы, для измеримой ограниченной на мно•
жестве A функции f(x) последовательность (fn(x))n1=1 простых изме• |
||||||||||
римых функций строится так: для каждого целого k fn(x) = k на мно• |
||||||||||
жестве Ak |
= x 2 Rjnk 6 f(x) < k+1n |
|
|
|
n |
|
||||
. Поэтому для x 6 0 полагаем |
||||||||||
fn(x) = 0, а на©множествах |
|
ª |
|
|
|
|
||||
|
k¼ |
|
( |
k + 1)¼ |
|
k¼ |
(k + 1)¼ |
|
||
½x > 0j |
|
6 arctg x < |
|
¾ = ½x > 0j tg |
|
6 x < tg |
|
¾; |
||
2n |
|
n |
2n |
2n |
k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1, полагаем fn(x) = k¼2n .
25
е р 14. |
Доказать, что при n |
! 1 |
последовательность |
|||
П р и м n |
¼x + cos |
n |
|
|
||
fn(x) = sin |
|
¼x сходится к нулю почти всюду на R отно• |
сительно меры Лебега.
Р е ш е н и е. При тех x 2 R, для которых j sin ¼xj < 1 и j cos ¼xj < 1, имеем lim sinn ¼x = 0, lim cosn ¼x = 0. Если же x 2 R таково, что
|
¼x |
n!1 |
(или |
n!1 |
1 |
), то предел функции |
sin |
n |
¼x |
(соответ• |
||
|
1 |
cos ¼x = |
§ |
|
||||||||
sin |
|
= §n |
|
|
|
|
|
|||||
ственно cos |
¼x ) равен единице или не существует. |
|
|
Rj sin ¼x = |
||||||||
|
Таким образом, рассмотрим множество A0 |
= fx 2 |
= §1 или cos ¼x = §1g = fkjk 2 Zg [ f1=2 + kjk 2 Zg. Множество A0 – счетное (как объединение двух счетных множество) и поэтому
¹(A0) = 0. Тогда для каждой точки x 2 RnA0 nlim!1 sinn ¼x+cosn ¼x = 0 и, следовательно, почти всюду последовательность fn(x) сходится к
f(x) = 0.
П р и м е р 15. Для последовательности fn(x) = xn; x 2 [0;1] ука• зать множество, на котором fn(x) сходится равномерно, причем мера множества, на котором нет сходимости, может быть сделана сколь угод• но малой.
Р е ш е н и е. Рассмотрим произвольное ± > 0. Если ± > 1, то в каче• стве X± ½ X, X = [0;1]; возьмем, например, отрезок [0; 1=2]. Тогда
¹(X |
n |
X |
) = 1 |
¡ |
1=2 < ± |
. |
lim sup |
j |
x n = |
lim 2¡n |
, т. е. на |
[0;1=2] |
||
|
± |
|
|
n |
!1 x2[0;1=2] |
j |
n |
!1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательность равномерно сходится к функции f(x) = 0.
Если же ± < 1, то покажем, что множества X± не существует. Предположим от противного, что такое множество X± найдется, тогда множество (X n X±) \ ([1 ¡ ±;±]) не пусто, ибо в противном случае X n X± ½ [0;1 ¡ ±] и ¹(X n X±) < 1 ¡ ± и чтобы выполнялось условие теоремы, необходимо, чтобы 1¡± < ±, т. е ± > 1=2, что не так. Поэтому на множестве X n X± существует последовательность (fk(x))1k=1 такая,
что lim xk = 1. Далее, пусть на множестве X n X± последовательность
k!1
(fn) равномерно сходится к нулю. Это означает, что для любого " > 0 найдется такой номер n0, что 8n > n0 jxnj < ".
Пусть " < 1, тогда xnk < " 8n > n0 и при k ! 1 имеем: 1 6 ", что противоречит выбору ".
П р и м е р 16. Исследовать на сходимость по мере к функции f на измеримом множестве X следующие последовательности:
26
1)fn(x) = xn; x[0;1]; 2)fn(x) = cosn x; x 2 R:
Р е ш е н и е. 1) Рассмотрим для любого ± > 0 измеримое множество |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xn |
> |
|
|
|
|
= [pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 1, то это мно• |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
x |
2 |
[0;1] |
j |
± |
g |
|
±; 1]. Отметим, что когда ± |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
жество пусто. Тогда nlim ¹fx 2 [0; 1]j xn > ±g = |
|
nlim (1 ¡ p±) = 0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому по мере |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
lim x |
|
|
|
|
|
|
= 0 на [0;1]. С другой стороны, x |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¡¡! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|||||
почти всюду на множестве конечной меры, поэтому она сходится и по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2) Пусть ± 6 1, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
jx 2 Rj j cos xjn > ±j = k=¡1 h¡ arccos pn ± + k¼; arccos pn ± + k¼i: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит ¹fx 2 Rj j cos xjn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
> ±g = k=¡1 2 arccos p± = +1. Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданная последовательность не сходится по мере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Задание 1. Пусть f : R ! |
|
|
. Выяснить является ли функция f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
измеримой. |
|
|
|
|
|
|
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin n[x]4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1.1. |
n=1 n + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n¡pn |
|
¢; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P cos n[x]4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
n[x] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n¡4 + [x]¢4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1.3. f(x) = n=1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
1.4. f(x) = n=1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + n5 + [x]4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
p( 1) |
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
( |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1) n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1.5. f(x) = |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. f(x) = |
|
|
|
¡ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
=1 |
n4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n |
+ x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1P |
( |
|
|
|
1)nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1.7. f(x) = arctan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1.8. f(x) = |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 |
+ n2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 sin2 x + n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
x |
|
|
e[x] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.9. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1.10. |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) = sign cos |
|
P; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1.11. f(x) = sign sin ¼x; 1.12. f(x) = sign cos |
¼ |
x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
n[x]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n[x]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1.13. f(x) = n=1 pn4 |
+ cos x4 ; 1.14. f(x) = n=1 pn4 + sin x4 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f : |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
||||||||||||||
|
|
Задание 2. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ! |
R |
. Выяснить является ли функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
измеримой. |
|
|
|
|
1 |
sin(n(x2 + y2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2.1. f(x;y) = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn [x + y ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
2.2. f(x;y) = |
1 |
e¡n arctan n4[x] + y]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
cos(n(x |
3 |
+ y |
3 |
)) |
|
|
|||||||||
2.3. f(x;y) = |
1 |
cos([x |
] + [y ]) |
|
; |
2.4. f(x;y) = |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
P |
|
n5 |
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
6 |
[ |
x |
4 |
+ |
y |
4 |
] |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f |
|
x;y |
|
n=1 |
|
¼ |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
2.6. f(x;y) = (x |
y |
|
|
|
x |
]; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
|
) = sign cos |
( |
|
|
+ |
|
|
+p )[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.7. f(x;y) = (jxj + jyj) e[x]; |
|
|
|
|
|
2.8. f(x;y) = arctan sin [x2 + y2]; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
|
x;y |
|
arctan [y] sin (x2 + y2) |
|
|
f(x;y) = [x]2 + [y]2 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
2.9. |
|
( |
|
) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2.10. |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
; |
2.11. f(x;y) = 2 ln ¡1 + [x4 + y4]¢; 2.12. f(x;y) = ¡1 + [x4 + y4]¢e[x];
2.13.f(x;y) = coth sin ¡1 + [x]4 + [y]4]¢;
2.14.f(x;y) = cos sinh ¡1 + [x]2 + [y]2]¢.
Задание 3. Пусть X; §; ¹ – пространство с мерой, f1; f2; f3; f4 : X ! R – измеримые функции. Выяснить, являются ли следующие
функции измеримыми: |
|
|
|
|
|
||
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
3.1. |
|
; |
3.2. max (f1(x); f2(x); f3(x); f4(x)); |
||||
ln(2 + jf2(x)j) |
|||||||
3.3. max (f1(x); f2(x); f3 |
(x); f4(x)); |
3.4. |
f1(x) + f2(x) |
; |
|||
|
ch(f3(x)) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.5.sin (jf1(x)j + jf2(x)j + jf3(x)j + jf4(x)j);
3.6.(5 + jf1(x)j + jf2(x)j)f3(x);
3.7. |
|
f1(x) ¢ f2(x) |
; 3.8. |
|
f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) |
; |
|||
1 |
+ max(f3(x); f4(x)) |
|
|
5 + arctan f1(x)] |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sinh f1(x) |
|
|
|
arctan f4(x) |
|
||
3.9. |
|
|
; |
3.10. |
|
|
|
; |
|
1 |
+ jf1(x)j + jf2(x)j |
|
1 + max (f1(x); f2(x); f3(x)) |
||||||
3.11. max (f1(x); f2(x); f3(x); 0); |
3.12. min (f1(x); f2(x); f3(x); 0); |
3.13. cos (jf1(x)j + jf2(x)j + jf3(x)j + jf4(x)j);
28
3.14. |
f1(x) ¢ f2(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + min(f3(x); f4(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задание 4. Сходится ли каждая из указанных последовательно• |
|||||||||||||||
стей по мере, почти всюду: |
4.2. fn(x) = x sinn x, x 2 R; |
||||||||||||||
4.1. fn(x) = sinn x, x 2 R; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
n2 cos2 x |
|
|
|
|
n4 sin2 x |
||||||
4.3. fn(x) = |
|
|
|
|
|
, x 2 R; |
4.4. fn(x) = |
|
|
, x 2 R; |
|||||
1 + n2 cos2 x |
1 + n4 sin4 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
sinn x |
|
2 |
2 |
¡4j, x 2 R; |
|||||||
4.5. fn(x) = |
|
|
|
|
, x 2 R; |
4.6. fn(x) = e¡n |
jx |
||||||||
2 + sinn x |
|||||||||||||||
4.7. fn(x) = x2n, x 2 [0;1]; 4.8. fn(x) = xn ¡ x2n, x 2 [0;1]; |
|||||||||||||||
4.9. fn(x) = e¡nx2, x 2 R; |
4.10. fn(x) = cosn x, x 2 R; |
||||||||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
nx |
||||||
4.11. fn(x) = |
|
, x 2 [0;1]; |
4.12. fn(x) = |
|
, x 2 [0;1]; |
||||||||||
1 + xn |
1 + n2x2 |
||||||||||||||
4.13. fn(x) = xn ¡ xn2, x 2 [0;1]; |
4.14. fn(x) = en(x¡1), x 2 [0;1]; |
Тема 4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ
О п р е д е л е н и е 8. Числовая измеримая функция f : X ! R; заданная на измеримом пространстве (X; §; ¹) с конечной мерой ¹; называется простой, если она принимает конечное или счетное число различных значений.
Теорема 12. Функция f : X ! R является простой тогда и
только тогда, когда X = `1 Ak, где множества Ak измеримы и f(x)
k=1
принимает постоянное значение yk на множестве Ak, k = 1; 2; : : :.
Теорема 13. Для любой измеримой функции f : X ! R, за• данной на измеримом пространстве (X; §; ¹), существует последо• вательность ffng1n=1 простых функций, сходящаяся к f равномерно.
Пусть f(x) – простая функция, принимающая значения y1; y2; : : : ;
yi 6= yj при i 6= j: Обозначим через Ak = fx : f(x) = ykg ; тогда
X = `1k=1 Ak.
29
О п р е д е л е н и е 9. Простая функция f называется суммируе• мой относительно меры ¹ (интегрируемой по Лебегу), если ряд
P1 yk¹(Ak) сходится абсолютно. Если функция f суммируема, то сум•
k=1
ма этого ряда называется интегралом Лебега функции f; т. е.
ZX1
f(x) d¹ = yk¹(Ak):
X |
k=1 |
|
Теорема 14. Пусть X = `1 Bi и пусть на каждом Bi функция
i=1
f принимает значение ci. Тогда
ZX1
f(x) d¹ = ci¹(Bi);
X |
i=1 |
|
причем функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.
С в о й с т в о 7. Пусть A ½ X – измеримое множество. Тогда
Z
d¹ = ¹(A):
A
С в о й с т в о 8. Пусть f; g суммируемые функции, тогда для любых скаляров ®;¯ 2 R суммируемой является функция ®f + ¯g и справедливо равенство
Z |
(®f(x) + ¯g(x)) d¹ = ® Z |
f(x)d¹ + ¯ Z |
g(x) d¹: |
(1.1) |
X |
X |
X |
|
|
Св о й с т в о 9. Ограниченная измеримая функция f суммируе• ма на X:
Св о й с т в о 10. Пусть f – суммируема и удовлетворяет условию
f(x) > 0; тогда |
Z |
|
|
f(x) d¹ > 0: |
|
|
X |
|
30