ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Metod_FA_1

2.Всякое не более чем счетное ограниченное множество точек пря• мой измеримо и его мера равна нулю;

3.Любой промежуток измерим и его мера равна его длине;

4.Любое ограниченное открытое или замкнутое множество измери• мо по Лебегу;

5.Любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

Часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать

ибесконечные значения. Ограничимся случаем ¾-конечных мер.

Оп р е д е л е н и е 5. Мера ¹, принимающая бесконечные значения, называется ¾-конечной, если существует последовательность множеств

A1; A2; ¢ ¢ ¢ 2 K такая, что A1 µ A2 µ : : : ; ¹(Ai) < +1 для всех i и

[1

X = Ai:

i=1

Если мера ¹, заданная на алгебре K подмножеств X, ¾-конечна, то X можно представить в виде объединения счетной системы попарно непересекающихся множеств конечной меры.

Рассмотрим теорию измеримости по Лебегу для произвольных (да• же неограниченных) множеств на прямой. Длина как мера на R явля• ется ¾-конечной, потому что

О п р е д е л е н и е 6. Множество A µ R называется измеримым по Лебегу, если для всех n 2 N измеримо по Лебегу ограниченное множе• ство A T[¡n;n) или A T[n;n + 1).

Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим §. Обо• значим через An = A T[n;n + 1). Тогда A = `1 An и ¹(A) = P1 ¹(An).

Если ряд расходится, то ¹(A) = 1.

Утверждение 1. Совокупность § всех измеримых по Лебегу подмножеств R является ¾-алгеброй.

11

Утверждение 2. Введенная функция ¹(A) является ¾-конечной мерой на ¾-алгебре всех измеримых множеств на R.

Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a;b) – фиксиро• ванный полуинтервал, S ½ P(X) – полукольцо, порожденное систе• мой полуинтервалов [®;¯) µ [a;b). Пусть на [a;b) задана неубывающая ограниченная функция F (x). Определим меру элемента полукольца

mF ([®;¯)) = F (¯) ¡ F (®):

Теорема 4. Для того, чтобы мера mF была ¾-аддитивной, необ• ходимо и достаточно, чтобы порождающая ее функция F (x) была непрерывной слева.

Пусть K(S) – кольцо, порожденное полукольцом с единицей S. Тогда для всех A 2 K(S) имеет место представление:

Соответствующее продолжение меры на K(S) задается формулой

Xn

mF (A) = mF (Ai):

i=1

Пусть ¹¤F внешняя мера, построенная по мере mF , заданной на алгебре K. Продолжение меры mF на ¾-алгебру § измеримых отно• сительно меры mF множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, по• строенной по неубывающей функции F .

Очевидно, что ¹F конечная полная мера. Если F (x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега ¹.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Пусть X = [0;1[£[0;1[; S – полукольцо прямоуголь• ников, принадлежащих X, вида Tab = [a;b) £ [0;1). Определим меру

12

является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продол• жения меры.

Р е ш е н и е. По определению внешняя мера A

где любой элемент полукольца S имеет вид Ak = [ak; bk[£[0;1[, т. е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество A элементами Ak, необходимо и достаточно покрыть про• екцию этого множества на ось OX полуинтервалами [ak;bk[. Поэтому внешняя мера множества A в данном случае совпадает с внешней ме• рой проекции этого множества на ось OX.

¹~¤(POXA) = ¹~¤([0;1]) = ¹~¤([0;1[) = m([0;1[) = 1, ¹~¤(XnA) = ¹~¤([0;1]) = ¹~¤([0;1[) = m([0;1[) = 1,

¹~¤(A) = ¹~¤(POXA) = 1; ¹~¤(XnA) = ¹~¤(POX(XnA)) = 1; ¹~¤(A) + ¹~¤(XnA) = 2 6= ¹¤(X) = m(X) = 1.

Следовательно, множество A неизмеримо.

Из приведенных выше рассуждений видно, что множество B ½ X будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид ¯ £ [0;1) и ¯ ½ [0;1) измеримо по Лебегу.

П р и м е р 2. Пусть X = [0;1[£[0;1); полукольцо S = f[a;b) £ [c;d) ½ Xg и мера m([a;b) £ [c;d)) = (b ¡ a)(d ¡ c). Вычислить внутрен• нюю и внешнюю меры множества

A = f(x;y) 2 R2 : 0 6 y < 1 ¡ x; 0 6 x < 1g:

Р е ш е н и е. По определению внешней меры имеем

13

Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x) = 1¡x на отрезке [0;1), соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому

¹¤(A) = m(X) ¡ ¹¤(XnA) > 1 ¡ 12 = 12:

Откуда вытекает, что 12 6 ¹¤(A) 6 ¹¤(A) 6 12.

П р и м е р 3. Пусть X = [¡1;1); S – полукольцо, S = f[a;b) ½ Xg; F : X ! R неубывающая непрерывная слева на функция. Опреде• лим на S меру Лебега-Стилтьеса равенством: ¹F ([a;b[) = F (b) ¡ F (a).

Описать класс измеримых подмножеств из X, найти меру Лебега•

0 62A, то 0 62[®i;¯i) для всех i = 1;n(A) и ¹F (A) = nP(A) ¹F (Ai) = 0.

i=1

Если 0 2 A, то найдется только один полуинтервал [®i0;¯i0) содержа•

щий x = 0, с мерой 1, и ¹F (A) = 1 = nP(A) ¹F (Ai). Следовательно,

i=1

14

мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F (x) непрерывна слева, то ¹F – аддитивна и допускает продолжение.

С этой целью найдем вначале внешнюю меру A 2 P(X). По определению

где нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям

A = (0;1) измеримо относительно меры ¹F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0;1) и его мера будет также равна нулю.

Если рассмотреть одноточечное множество A = 0, то для каждого его покрытия SAk множествами Ak 2 S имеется хотя бы одно из них,

k

пользуясь покрытием [¡1;1[¾ f0g, получаем, что ¹¤F (A) 6 1. Таким

образом, ¹¤F (A) = 1.

Рассмотрим теперь произвольное множество A 2 P(X). Из свойств монотонности внешней меры следует, что ¹¤F (A) = 0, если A ½ (0;1) или A ½ [¡1;0). Если же f0g ½ A, то ¹¤F (A) > 1. Рассматри• вая в этом случае покрытие [¡1;1), имеем ¹¤F (A) 6 1. Следовательно,

если f0g ½ A, то ¹¤F (A) = 1.

Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относи• тельно меры Лебега–Стилтьеса. Действительно, A ½ (0;1) или A ½ [¡1;0), то ¹¤F (A) = 0 и оно измеримо. Если же f0g ½ A, то из неравен•

ства ¹¤F (A 4 [¡1;1)) = ¹¤F ((An[¡1;1)) [ ([¡1;1)nA)) = 0 < ", справед• ливого для каждого " > 0, заключаем, что множество ¹F -измеримо,

¹F (A) = 1.

П р и м е р 4. Каково строение и какая мера точек отрезка [0;1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

Р е ш е н и е. Это множество строится следующим образом: делим от• резок [0;1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал

15

[0:4; 0:6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответству• ющий полуинтервал [0;n14; 0;n16[, где n1 = 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9 и т. д. Дан• ное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т. е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасывае• мых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:

Следовательно, мера точек отрезка [0;1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.

Р е ш е н и е. 1) Представим множество A в виде объединения попар• но непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с ка• кого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что ¹(An) =

Таким образом, ¹(A) = 1.

16

где a > 0 – фиксированное число.

Р е ш е н и е. Множество A ½ R2 открыто и поэтому измеримо. Мно• жество рассматривается в пространстве с ¾-конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств An " A;

Задание 1. Пусть X = [¡1; 1[£[¡1; 2); S = f[a; b) £ [¡1; 2) ½ Xg; m(AS) = 3(b ¡ a). Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и

выяснить, измеримы ли они.

1.1. A = ©(x;y) 2 X : x2 + y2 < 1ª;

1.2. A = f(x;y) 2 X : x + y = 1g ;

1.3. A = f(x;y) 2 X : x + y < 1g ; 1.4. A = f(x;y) 2 X : xy < 1g ;

1.5. A = f(x;x) 2 X : ¡1 6 x < 1g ;

1.7.A = f(x;y) : x; y 2 Qg ; Q – множество рациональных чисел;

1.8.A = f(x;x) 2 X : x 2 [0;1] \ Qg ;

1.9.A = f(y;y) 2 X : y 2 [¡1;1]nQg ;

1.10.A = f(x;y) 2 X : x + y > 1g ;

1.11.A = f(x;y) 2 X : x 2 [0;1]nQ; y 2 [0;1]nQg ;

1.12.A = f(x;y) 2 X : x = 0g ;

17

Задание 2. Описать структуру множества A ½ [0;1] и найти его меру.

2.1.Множество точек отрезка [0;1], состоящее из чисел, у которых

вдесятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.

2.2.Множество точек отрезка [0;1], в разложении которых в беско• нечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1; 2; : : : ; 9.

2.3.Множество точек отрезка [0;1], десятичное представление ко• торых содержит хотя бы одну цифру 3.

2.4.Множество точек отрезка [0;1], десятичное представление ко• торых возможно без цифр 4 и 5.

2.5.Множество точек отрезка [0;1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3;3.

2.6.Множество точек отрезка [0;1], которые допускают разложение

вдесятичную дробь без использования цифры 7.

2.7.Множество точек отрезка [0;1], десятичное представление ко• торых не содержит цифры 2.

2.8.Множество точек отрезка [0;1], десятичное представление ко• торых содержит цифру 5 только один раз.

2.9.Множество точек отрезка [0;1], в разложении которых в дво• ичную дробь на всех четных местах стоят нули.

2.10.Множество точек отрезка [0;1], в разложении которых в дво• ичную дробь на всех нечетных местах стоят единицы.

2.11.Множество точек отрезка [0;1], троичное представление кото• рых не содержит цифры 3.

2.12.Множество точек отрезка [0;1], троичное представление кото• рых не содержит цифры 0.

2.13.Множество точек отрезка [0;1], десятичное представление ко• торых невозможно без цифры 4.

2.14.Множество точек отрезка [0;1], которые допускают двоичное разложение, в котором на четных местах стоит цифра 0.

Задание 3. Доказать, что множество A ½ R измеримо и найти его меру.

18

4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоя• щее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррацио•

Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоя• щее из точек (x;y) таких, что j sin xj < 12; а cos(x + y) – иррационально;

19

щее из точек (x;y) таких, что jxj < y;

4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоя•

4.13.Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоя• щее из точек (x;y) таких, что jxj < jyj.

4.14.Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоя• щее из точек (x;y) таких, что jxj > y.

Задание 5.

5.1.Пусть F – замкнутое множество на числовой прямой, мера Лебега которого равна нулю. Доказать что F нигде не плотно.

5.2.Пусть 0 < ® < 1. Построить измеримое по Лебегу множество A ½ [0; 1], мера которого равна ®, но для 8a < b, для которого [a; b] µ [0; 1] выполняется неравенство 0 < ¹(A \ [a; b]) < b ¡ a.

5.3.Пусть F – замкнутое множество на числовой прямой, мера Лебега которого положительна. Доказать что F множество мощности континуума.

5.4.Пусть A – измеримое множество на числовой прямой и ¹(A) =

=a > 0. Доказать, что для любого b 2 (0; a) существует измеримое множество B ½ A, мера которого ¹(B) = b.

5.5.На [0; 1] построить последовательность измеримых нигде не

плотных попарно не пересекающихся множеств (A )1 таких, что

µ ¶ n n=1

¹ `1 An = 1.

n=1

20