ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Tema 2

Тема 2. ЛЕБЕГОВСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. МЕРА В Rn

Пусть задано множество X и S ½ P(X) – полукольцо его подмно• жеств, на котором задана мера m.

О п р е д е л е н и е 1. Мера ¹, заданная на кольце K называется про• должением меры m, если S ½ K и для всех A 2 S выполняется равен• ство ¹(A) = m(A).

Теорема 1. Пусть m – мера на полукольце S ½ P(X) и K(S)минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера ¹, являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце S ½ P(X) является ¾-аддитивной, то ее продол• жение также ¾-аддитивная мера.

Пусть K ½ P(X) – алгебра подмножеств множества X, m – ¾-ад- дитивная мера на K.

О п р е д е л е н и е 2. Внешней мерой множества A ½ X называет•

где нижняя грань берется по всевозможным конечным или счетным покрытиям множества A элементарными множествами Aj .

Св о й с т в о 1. Если A ½ K, то ¹¤(A) = m(A).

Св о й с т в о 2. Для всех A ½ X ¹¤(A) > 0 и ¹¤(?) = 0.

Св о й с т в о 3. Для всех A; B ½ X и A µ B справедливо нера• венство ¹¤(A) 6 ¹¤(B).

Св о й с т в о 4. Внешняя мера счетно-полуаддитивна, т. е. для всех B1; B2; ¢ ¢ ¢ µ X имеет место неравенство:

¹¤ Ã[1 Bk! 6 X1 ¹¤(Bk):

k=1 k=1

1

С в о й с т в о 5. Для всех A; B; C ½ X

¹¤(A 4 B) 6 ¹¤(A 4 C) + ¹¤(B 4 C):

С в о й с т в о 6. Для любых A; B ½ X

j¹¤(A) ¡ ¹¤(B)j 6 ¹¤(A4B):

О п р е д е л е н и е 3. Внутренней мерой множества A ½ X назы•

вается число

¹¤(A) = ¹(X) ¡ ¹¤(A):

Для всех A ½ X имеет место неравенство ¹¤(A) 6 ¹¤(A). Пусть m – полная, счетно-аддитивная, конечная мера.

О п р е д е л е н и е 4. Множество A ½ X называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств K, если выполняется равенство

¹¤(A) + ¹¤(XnA) = ¹(X):

Совокупность измеримых множеств обозначим §. Для измеримого по Лебегу множества определим меру

¹(A) = ¹¤(A); A 2 §:

Теорема 2 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X; §; m). Тогда для всех A ½ X следующие утверждения эквивалентны:

1.измеримо по Лебегу относительно меры m;

2.для любого " > 0 существует B 2 K такое, что

¹¤(A 4 B) < ":

Следствие 1. Множество A ½ X измеримо, если для всех " > 0 существует измеримое множество B такое, что ¹¤(A4B) < ".

Теорема 3 (о ¾-алгебре измеримых множеств). Совокупность

§ измеримых по Лебнгу множеств образует ¾-алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение ¹ внешней меры ¹¤ на измеримые множества является мерой на §.

2

Следствие 2. Счетное пересечение измеримых множеств измери•

мо.

Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из A 2 K; B ½ A и ¹(A) = 0 следует, что B 2 K и m(B) = 0.

Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.

Пусть X = [a;b) – некоторый фиксированный полуинтервал пря• мой, S ½ P(X) полукольцо, состоящее из полуинтервалов [®; ¯) ½ X. Пусть K – алгебра подмножеств, порожденная полукольцом S, каж•

дый элемент которой имеет вид A = `n

j=1

валы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца,

Pn (¯j ¡ ®j). Для произвольного множества A ½ [a;b)

k

гу, если ¹¤(A) + ¹¤(XnA) = b ¡ a. Таким образом, мерой Лебега ¹ на отрезке называется лебеговское продолжение длины.

Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множе• ства:

1.Множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера рав• на нулю;

2.Всякое не более чем счетное ограниченное множество точек пря• мой измеримо и его мера равна нулю;

3.Любой промежуток измерим и его мера равна его длине;

4.Любое ограниченное открытое или замкнутое множество измери• мо по Лебегу;

5.Любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

Часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать и бесконечные значения. Ограничимся случаем ¾-конечных мер.

3

О п р е д е л е н и е 5. Мера ¹, принимающая бесконечные значения, называется ¾-конечной, если существует последовательность множеств A1; A2; ¢ ¢ ¢ 2 K такая, что A1 µ A2 µ : : : ; ¹(Ai) < +1 для всех i и

[1

X = Ai:

i=1

Если мера ¹, заданная на алгебре K подмножеств X, ¾-конечна, то X можно представить в виде объединения счетной системы попарно непересекающихся множеств конечной меры.

Рассмотрим теорию измеримости по Лебегу для произвольных (да• же неограниченных) множеств на прямой. Длина как мера на R явля• ется ¾-конечной, потому что

О п р е д е л е н и е 6. Множество A µ R называется измеримым по Лебегу, если для всех n 2 N измеримо по Лебегу ограниченное множе• ство A T[¡n;n) или A T[n;n + 1).

Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим §. Обо• значим через An = A T[n;n + 1). Тогда A = `1 An и ¹(A) = P1 ¹(An).

Если ряд расходится, то ¹(A) = 1.

Утверждение 1. Совокупность § всех измеримых по Лебегу подмножеств R является ¾-алгеброй.

Утверждение 2. Введенная функция ¹(A) является ¾-конечной мерой на ¾-алгебре всех измеримых множеств на R.

Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a;b) – фиксиро• ванный полуинтервал, S ½ P(X) – полукольцо, порожденное систе• мой полуинтервалов [®;¯) µ [a;b). Пусть на [a;b) задана неубывающая ограниченная функция F (x). Определим меру элемента полукольца

mF ([®;¯)) = F (¯) ¡ F (®):

4

Теорема 4. Для того, чтобы мера mF была ¾-аддитивной, необ• ходимо и достаточно, чтобы порождающая ее функция F (x) была непрерывной слева.

Пусть K(S) – кольцо, порожденное полукольцом с единицей S. Тогда для всех A 2 K(S) имеет место представление:

Соответствующее продолжение меры на K(S) задается формулой

Xn

mF (A) = mF (Ai):

i=1

Пусть ¹¤F внешняя мера, построенная по мере mF , заданной на алгебре K. Продолжение меры mF на ¾-алгебру § измеримых отно• сительно меры mF множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, по• строенной по неубывающей функции F .

Очевидно, что ¹F конечная полная мера. Если F (x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега ¹.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Пусть X = [0;1[£[0;1[; S – полукольцо прямоуголь• ников, принадлежащих X, вида Tab = [a;b) £ [0;1). Определим меру таких прямоугольников как©их площадь m(Tab) = b ¡ aª. Найти внеш• нюю меру множества A = (x;y) 2 X : 0 6 x 6 1; y = 12 и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продол• жения меры.

Р е ш е н и е. По определению внешняя мера A

где любой элемент полукольца S имеет вид Ak = [ak; bk[£[0;1[, т. е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть

5

множество A элементами Ak, необходимо и достаточно покрыть про• екцию этого множества на ось OX полуинтервалами [ak;bk[. Поэтому внешняя мера множества A в данном случае совпадает с внешней ме• рой проекции этого множества на ось OX.

¹~¤(POXA) = ¹~¤([0;1]) = ¹~¤([0;1[) = m([0;1[) = 1, ¹~¤(XnA) = ¹~¤([0;1]) = ¹~¤([0;1[) = m([0;1[) = 1,

¹~¤(A) = ¹~¤(POXA) = 1; ¹~¤(XnA) = ¹~¤(POX(XnA)) = 1; ¹~¤(A) + ¹~¤(XnA) = 2 6= ¹¤(X) = m(X) = 1.

Следовательно, множество A неизмеримо.

Из приведенных выше рассуждений видно, что множество B ½ X будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид ¯ £ [0;1) и ¯ ½ [0;1) измеримо по Лебегу.

П р и м е р 2. Пусть X = [0;1[£[0;1); полукольцо S = f[a;b) £ [c;d) ½ Xg и мера m([a;b) £ [c;d)) = (b ¡ a)(d ¡ c). Вычислить внутрен• нюю и внешнюю меры множества

A = f(x;y) 2 R2 : 0 6 y < 1 ¡ x; 0 6 x < 1g:

Р е ш е н и е. По определению внешней меры имеем

Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x) = 1¡x на отрезке [0;1), соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому

Z1

n!1

1 lim Sn = f(x) dx = 2:

0

6

¹¤(A) = m(X) ¡ ¹¤(XnA) > 1 ¡ 12 = 12:

Откуда вытекает, что 12 6 ¹¤(A) 6 ¹¤(A) 6 12.

П р и м е р 3. Пусть X = [¡1;1); S – полукольцо, S = f[a;b) ½ Xg; F : X ! R неубывающая непрерывная слева на функция. Опреде• лим на S меру Лебега-Стилтьеса равенством: ¹F ([a;b[) = F (b) ¡ F (a).

Описать класс измеримых подмножеств из X, найти меру Лебега•

0 62A, то 0 62[®i;¯i) для всех i = 1;n(A) и ¹F (A) = nP(A) ¹F (Ai) = 0.

i=1

Если 0 2 A, то найдется только один полуинтервал [®i0;¯i0) содержа• щий x = 0, с мерой 1, и ¹F (A) = 1 = nP(A) ¹F (Ai). Следовательно,

i=1

мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F (x) непрерывна слева, то ¹F – аддитивна и допускает продолжение.

С этой целью найдем вначале внешнюю меру A 2 P(X). По определению

7

где нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям

A = (0;1) измеримо относительно меры ¹F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0;1) и его мера будет также равна нулю.

Если рассмотреть одноточечное множество A = 0, то для каждого его покрытия SAk множествами Ak 2 S имеется хотя бы одно из них,

k

пользуясь покрытием [¡1;1[¾ f0g, получаем, что ¹¤F (A) 6 1. Таким

образом, ¹¤F (A) = 1.

Рассмотрим теперь произвольное множество A 2 P(X). Из свойств монотонности внешней меры следует, что ¹¤F (A) = 0, если A ½ (0;1) или A ½ [¡1;0). Если же f0g ½ A, то ¹¤F (A) > 1. Рассматри• вая в этом случае покрытие [¡1;1), имеем ¹¤F (A) 6 1. Следовательно,

если f0g ½ A, то ¹¤F (A) = 1.

Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относи• тельно меры Лебега–Стилтьеса. Действительно, A ½ (0;1) или A ½ [¡1;0), то ¹¤F (A) = 0 и оно измеримо. Если же f0g ½ A, то из неравен•

ства ¹¤F (A 4 [¡1;1)) = ¹¤F ((An[¡1;1)) [ ([¡1;1)nA)) = 0 < ", справед• ливого для каждого " > 0, заключаем, что множество ¹F -измеримо,

¹F (A) = 1.

П р и м е р 4. Каково строение и какая мера точек отрезка [0;1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

Р е ш е н и е. Это множество строится следующим образом: делим от• резок [0;1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0:4; 0:6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответству• ющий полуинтервал [0;n14; 0;n16[, где n1 = 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9 и т. д. Дан• ное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т. е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасывае• мых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому

8

Следовательно, мера точек отрезка [0;1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.

Р е ш е н и е. 1) Представим множество A в виде объединения попар• но непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с ка• кого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что ¹(An) =

где a > 0 – фиксированное число.

9

Р е ш е н и е. Множество A ½ R2 открыто и поэтому измеримо. Мно• жество рассматривается в пространстве с ¾-конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств An " A;

A = ½(x;y) 2 R2 : x 2 [n;n); 0 < y < a2 ¾: a2 + x2

Задание 1. Пусть X = [¡1; 1[£[¡1; 2); S = f[a; b) £ [¡1; 2) ½ Xg; m(AS) = 3(b ¡ a). Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и

выяснить, измеримы ли они.

1.1. A = ©(x;y) 2 X : x2 + y2 < 1ª;

1.2. A = f(x;y) 2 X : x + y = 1g ;

1.3. A = f(x;y) 2 X : x + y < 1g ;

1.7.A = f(x;y) : x; y 2 Qg ; Q – множество рациональных чисел;

1.8.A = f(x;x) 2 X : x 2 [0;1] \ Qg ;

1.9.A = f(y;y) 2 X : y 2 [¡1;1]nQg ;

1.10.A = f(x;y) 2 X : x + y > 1g ;

1.11.A = f(x;y) 2 X : x 2 [0;1]nQ; y 2 [0;1]nQg ;

1.12.A = f(x;y) 2 X : x = 0g ;

1.13.A = f(x;y) 2 X : y = 0g ;

½· ¸ ¾

1.14.A = (x;y) 2 X : x 2 1 ; y 2 [1;2] :0;

2

Задание 2. Описать структуру множества A ½ [0;1] и найти его меру.

10