ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Tema 4

Тема 4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

О п р е д е л е н и е 1. Числовая измеримая функция f : X ! R; заданная на измеримом пространстве (X; §; ¹) с конечной мерой ¹; называется простой, если она принимает конечное или счетное число различных значений.

Теорема 1. Функция f : X ! R является простой тогда и

только тогда, когда X = `1 Ak, где множества Ak измеримы и f(x)

k=1

принимает постоянное значение yk на множестве Ak, k = 1; 2; : : :.

Теорема 2. Для любой измеримой функции f : X ! R, заданной на измеримом пространстве (X; §; ¹), существует последователь• ность ffng1n=1 простых функций, сходящаяся к f равномерно.

Пусть f(x) – простая функция, принимающая значения y1; y2; : : : ;

yi 6= yj при i 6= j: Обозначим через Ak = fx : f(x) = ykg ; тогда

X = `1k=1 Ak.

О п р е д е л е н и е 2. Простая функция f называется суммируе• мой относительно меры ¹ (интегрируемой по Лебегу), если ряд

P1 yk¹(Ak) сходится абсолютно. Если функция f суммируема, то сум•

k=1

ма этого ряда называется интегралом Лебега функции f; т. е.

ZX1

f(x) d¹ = yk¹(Ak):

Теорема 3. Пусть X = `1 Bi и пусть на каждом Bi функция f

i=1

принимает значение ci. Тогда

ZX1

f(x) d¹ = ci¹(Bi);

причем функция f интегрируема на X тогда и только тогда, когда ряд сходится абсолютно.

1

С в о й с т в о 1. Пусть A ½ X – измеримое множество. Тогда

Z

d¹ = ¹(A):

A

С в о й с т в о 2. Пусть f; g суммируемые функции, тогда для любых скаляров ®;¯ 2 R суммируемой является функция ®f + ¯g и справедливо равенство

f(x) d¹ > 0:

X

Xфункция, что jfj 6 '; тогда f также суммируема.

Св о й с т в о 8. Если f1(x) 6 f(x) 6 f2(x), где f1; f2 – суммируе• мые, а f – измеримая функция, то f будет суммируемой.

2

С в о й с т в о 9. Пусть f – суммируемая функция, а g – ограни• ченная измеримая функция такая, что jg(x)j 6 c: Тогда функция f ¢ g

С в о й с т в о 10. Если f суммируема на X; то f суммируема на

С в о й с т в о 11. Функции f и jfj суммируемы либо не суммиру•

3

О п р е д е л е н и е 3. Назовем измеримую функцию f на X суще• ственно ограниченной, если 9c > 0, что jf(x)j 6 c почти всюду на

X. Наименьшая из таких констант называется существенной верхней гранью функции f и обозначается ess sup jf(x)j.

ZX1 Z

Теорема 7 (Лебега о мажорированной сходимости).

Пусть (X; §; ¹) – пространство с конечной мерой. Если последо• вательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится почти всюду к функции f(x) и при этом существует суммируемая функция '; такая что для всех n jfnj 6 '; то f – суммируемая функция и

4

Теорема 8 (Беппо Леви). Пусть (X; §; ¹) – пространство с мерой и (fn)1n=1 – монотонно возрастающая последовательность сум• мируемых функций такая, что существует константа C > 0, что

Z

Следствие 1. Пусть 'n(x) – последовательность неотрицательных суммируемых функций и пусть числовой ряд

Xn=1X

Теорема 9 (Фату). Пусть (X; §; ¹) – пространство с мерой и (fn)1n=1 – последовательность неотрицательных суммируемых функ• ций на множестве X; обладающая свойствами:

²fRn(x) ! f(x) почти всюду на X;

²fn(x) d¹ 6 C для всех n 2 N.

X

Тогда

²f суммируема;

²R f(x) d¹ 6 C.

X

5

Пусть X – пространство с ¾-конечной мерой. По определению ¾-конечной меры существует неубывающая последовательность изме•

римых множеств A1 µ A2 µ : : : ; для которых ¹(An) < +1 для всех

S1 An:

n=1

Оп р е д е л е н и е 4. Измеримая функция f; заданная на множестве

с¾-конечной мерой ¹; называется суммируемой на X; если она сумми•

существует и конечен и не зависит от выбора последовательности An: Этот предел называется интегралом Лебега от функции f и обознача• ется так R f(x) d¹:

X

Теорема 10. Если для функции, заданной на [a,b], существует

Теорема 11. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a;b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходи• мо и достаточно, чтобы множестве ее точек разрыва имело меру нуль.

Теорема 12. Для абсолютной сходимости несобственного инте•

и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a;b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

Zb Z

a[a;b]

Теорема 13. Для абсолютной сходимости несобственного инте• грала Римана ервого рода необходимо и достаточно, чтобы функция

6

f была интегрируема по Лебегу на [a; + 1). При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на отрезке [0; 1] следующие функции: £ £

1. f(x) = (¡1)nn , если x 2 1 ;1 n = 1; 2; : : :;

¡¢ n+1 n

2.f(x) = sign sin ¼x , x 2 [0;1].

Ре ш е н и е. 1) Функция f(x) является неограниченной, поэтому по

Риману она не интегрируема. f измерима, так как принимает счетное

2) Рассматриваемая функция f(x) также является простой, при• нимающей три значения: 1; ¡1 и 0: А именно: f(x) = 1 на множестве

7

Счетное множество A0 также измеримо и ¹(A0) = 0. Поэтому

П р и м е р 2. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу функция f(x), если да, то вычислить интеграл.

Р е ш е н и е. Функция f(x) не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке, за исключением точек x = 0, x = 1, т. е. мера ее точек разрыва не меньше 1. Действительно, для любого a 2 (0;1) существуют последовательности (an) 2 (0;1)\Q и (bn) 2 (0;1)nQ такие,

что an ! a и bn ! a, но f(an) = a2n ! a2, а f(bn) ! a3, при этом a2 =6 a3, т. е. интервал (0;1) – подмножество множества точек разрыва

функции.

Выясним, интегрируема ли функция по Лебегу. Так как эквива• лентные функции интегрируемы или неинтегрируемы одновременно и их интегралы совпадают, заменим f на эквивалентную функцию g(x) = x3; x 2 [0;1] ; ( f » g, так как ¹ fx : f =6 gg = ¹([0;1] \ Q) = 0 ).

Функция g(x) непрерывна и интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу и имеет место равенство

1

[0;1]

П р и м е р 3. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x),

где K – канторово множество, CK – его дополнение.

8

Р е ш е н и е. Функция f(x) эквивалентна на отрезке [0, 1] функции g(x)

(

g(x) =

так как ¹ fx : f =6 gg = ¹(K) = 0 . Поэтому

П р и м е р 4. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x), задан• ной на отрезке [0; 1], если f(x) = 10 в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат треугольники, опирающиеся на эти интервалы, как на основания, высоты 1.

Р е ш е н и е. Воспользуемся аддитивностью интеграла Лебега и пред• ставим интеграл в виде суммы двух интегралов: первый по канторову множеству, он будет равен нулю, так как ¹(K) = 0 , а второй – по его дополнению.

и так далее. Следовательно,

ZX1 Z

На каждом Gk функция непрерывна и поэтому интегрируема по Рима• ну. Интеграл Римана равен площади треугольника, значит,

9

П р и м е р 5. При каких значениях параметров ® и ¯ функция f(x) = x® ¢ sin x¯ , x 2 (0;1),

²интегрируема по Лебегу;

²интегрируема по Риману в несобственном смысле.

Ре ш е н и е. Неограниченная на отрезке [a;b] функция интегрируема по Лебегу в том случае, когда она абсолютно интегрируема по Риману в несобственном смысле.

1 случай: ¯ > 0.

Итак, при ¯ > 0 функция интегрируема по Лебегу при ® > ¡1¡¯. Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы интеграл схо• дился условно. Используя признак Дирихле, получаем ®+1¯ ¡ 1 > 0,

следовательно ® > ¡1 ¡ ¯.

Следовательно, при ¯ < 0 функция интегрируема по Лебегу, если ® > ¡1. Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы ®+1¯ ¡ 1 < 0, следовательно ® > ¡1 + ¯.

Итак, функция f(x) = x® sin x¯ интегрируема по Лебегу при ® > ¡1 ¡ ¯ ( ¯ > 0 ) и ® > ¡1 ( ¯ < 0 ); по Риману при ® > ¡1 ¡ j¯j.

П р и м е р 6. Вычислить интеграл Лебега на интервале (0; + 1) от функции f(x) = e¡[x], где [¢] – целая часть.

10