ФАН / Методички / МЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА / Tema 3

Тема 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задано пространство с мерой (X; §; ¹).

О п р е д е л е н и е 1. Действительная функция f : X ! R называет• ся измеримой, если для любого c 2 R множество Ac = fx: f(x) < cg измеримо (здесь R – расширенная числовая прямая). Комплекснознач• ная функция g + ih измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части.

Лемма 1. Числовая функция f : X ! R измерима тогда и толь• ко тогда, когда для любого c 2 R измеримо одно из множеств fx : f(x) 6 cg; fx : f(x) > cg; fx : f(x) > cg:

Теорема 1. Пусть f : X ! R – измеримая функция. Тогда для любой измеримой функции g : R ! R их композиция h = g ±f также измерима на X:

Будем говорить, что две определенные на множестве X функции эквивалентны, если они равны между собой почти всюду, т. е. равны между собой для всех x 2 X за исключением, быть может, точек, принадлежащих множеству нулевой меры.

Лемма 2. Функция f(x); определенная на множестве X и экви• валентная на нем измеримой функции g(x); так же измерима.

Теорема 2. Пусть (X;§; ¹) – пространство с мерой и f; g : X ! R – измеримые функции. Тогда функции ®f; f2; f § g; f ¢ g; f=g (при условии, что g(x) =6 0 на X), ® 2 R; измеримы.

1. Равномерная сходимость.

Последовательность измеримых функций fn сходится к функции f равномерно, если для любого " > 0 существует номер n" такой, что для всех n > n" выполнено

sup jfn(x) ¡ f(x)j < ":

x2X

Равномерная сходимость обозначается так: fn ¶ f:

2. Точечная сходимость.

Последовательность fn сходится к функции f точечно, если для любого x 2 X fn(x) ! f(x) при n ! 1.

1

3. Сходимость почти всюду.

п.в.

Последовательность fn сходится к f почти всюду (fn ¡¡¡! f);

n!1

если fn(x) ! f(x) при n ! 1 для всех точек x за исключением, быть может, тех x; которые принадлежат множеству меры нуль.

4. Сходимость по мере.

Сходимость по мере последовательности измеримых функций fn

¹

к измеримой функции f обозначается fn ¡¡¡! f и означает, что для

n!1

любого " > 0 мера множества

An(") = ©x: jfn(x) ¡ f(x)j > "ª

стремится к нулю при n ! 1:

Теорема 3. Пусть X; §; ¹ – пространство с мерой и (fn)1n=1 – последовательность измеримых функций. Если fn сходится в каж• дой точке x 2 X к функции f; то функция f измерима.

Следствие 1. Если последовательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится к f равномерно, то f измерима.

Следствие 2. Если последовательность измеримых функций (fn)1n=1 сходится к f почти всюду, то предельная функция измерима.

Следствие 3. Существует разрывная на отрезке [a;b] функция, ко• торая не является пределом почти всюду сходящейся последовательно• сти непрерывных функций.

Теорема 4 (Лебег). Пусть (X; §; ¹) – пространство с полной конечной ¾-аддитивной мерой и пусть последовательность (fn)1n=1 измеримых функций сходится к функции f почти всюду. Тогда она сходится к той же самой предельной функции и по мере.

Теорема 5 (Рисс). Пусть (X; §; ¹) – пространство с полной ¾-аддитивной мерой и пусть последовательность (fn)1n=1 измери• мых функций сходится по мере к измеримой функции f: Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность (fnk )1k=1 ½ (fn), сходящуюся к f почти всюду.

2

Теорема 6 (Егоров). Пусть дана последовательность (fn)1n=1 измеримых функций, сходящаяся на измеримом множестве X с ко• нечной мерой к функции f: Тогда для любого ± > 0 найдется такое измеримое множество X± ½ X, что:

1)¹(X n X±) < ±;

2)на множестве X± последовательность fn(x) сходится к f(x)

равномерно.

Теорема 7 (Лузин). Пусть задана измеримая функция f(x) на измеримом множестве X, расположенном на [a; b]. Каково бы ни бы• ло число " > 0 из X можно изъять такую часть, которую можно покрыть системой интервалов с суммой длин < ", что на оставшем• ся множестве функция f(x) будет непрерывной.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. На числовой прямой R с мерой Лебега любая непре• рывная функция измерима.

Р е ш е н и е. Действительно, множество Ac = fx: f(x) < cg является прообразом открытого множества f¡1(¡1;c); которое измеримо как борелевское множество.

П р и м е р 2. Пусть (fn(x))1n=1 – последовательность измеримых

Р е ш е н и е. Обозначим через h(x) = sup fn(x). Измеримость h(x) озна•

n

чает, что для любого c 2 R измеримы множества Ac = fxj h(x) > cg. Покажем, что = fxj h(x) > cg = Sfxj fn(x) > cg, это и будет означать

n

измеримость h.

Пусть x 2 Ac, т. е. h(x) > c. Тогда h(x) > c + " при достаточно малом " > 0. По определению точной верхней границы найдется такой

n

найдется такой номер n0, что fn0(x) > c. Но тогда h(x) > fn0(x) > c, т. е. x 2 Ac. Равенство доказано.

3

Аналогично доказывается измеримость функции inf fn(x).

n

П р и м е р 3. Определим функцию f(x) на [0;1] следующим обра• зом. Если x = 0;n1n2; : : : – десятичная запись числа x, то f(x) =

= max ni. Показать, что функция f(x) измерима.

i

Р е ш е н и е. Рассмотрим множество чисел отрезка [0;1], в десятичной записи которых присутствует цифра 9. Мера данного множества равна

101 + 9 1012 + : : : + 9n¡1 101n + : : : = 1:

Следовательно, функция f(x) равна 9 почти всюду. Функция f(x) измерима как постоянная функция.

П р и м е р 4. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда измерима функция sin f.

Р е ш е н и е. Обозначим через g(x) = sin x, тогда при измеримости функции f имеем h(x) = g(f(x)) = sin f(x) – композиция непрерывной

иизмеримой и поэтому sin f будет измеримой.

Сдругой стороны, пусть измерима функция h(x) = sin f(x), пока• жем, что измерима функция f. Измеримость sin f означает, что для любого 2 R измеримо множество

k=¡1

П р и м е р 5. Доказать, что функция y = f(x), x 2 R, измерима на R, если

1)f(x) = sin[x], где [x] – целая часть числа x 2 R; 2) f(x) =

=P1 arctg x4+xn4 :

n=1

4

Р е ш е н и е. 1) Функция f(x) принимает счетное число значений sin k;

k 2 Z. А именно, f(x) = sin k, если x 2 Ak = [k; k + 1) и [k[k; k + 1] =

R. Так как промежутки Ak являются измеримыми, то f(x) является простой функцией и, следовательно, измеримой.

2) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными функциями и поэтому измеримы. Если x > 0, то эквивалентность arctg x4+xn4 » n14 при n ! 1 позволяет сделать вывод о равномерной сходимости этого функционального ряда для x > 0. Аналогично,

измеримы на плоскости. Измеримой для каждого номера n является

го ряда (что устанавливается с помощью признака сравнения) следует измеримость на R2 функции f(x;y).

П р и м е р 7. Для функции f построить последовательность про•

Р е ш е н и е. Исходя из теоремы, для измеримой ограниченной на мно•

k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1, полагаем fn(x) = k¼2n .

5

тельно меры Лебега.

Р е ш е н и е. При тех x 2 R, для которых j sin ¼xj < 1 и j cos ¼xj < 1, имеем lim sinn ¼x = 0, lim cosn ¼x = 0. Если же x 2 R таково, что

= §1 или cos ¼x = §1g = fkjk 2 Zg [ f1=2 + kjk 2 Zg. Множество A0 – счетное (как объединение двух счетных множество) и поэтому

¹(A0) = 0. Тогда для каждой точки x 2 RnA0 nlim!1 sinn ¼x+cosn ¼x = 0 и, следовательно, почти всюду последовательность fn(x) сходится к

f(x) = 0.

П р и м е р 9. Для последовательности fn(x) = xn; x 2 [0;1] ука• зать множество, на котором fn(x) сходится равномерно, причем мера множества, на котором нет сходимости, может быть сделана сколь угод• но малой.

Р е ш е н и е. Рассмотрим произвольное ± > 0. Если ± > 1, то в каче• стве X± ½ X, X = [0;1]; возьмем, например, отрезок [0; 1=2]. Тогда

последовательность равномерно сходится к функции f(x) = 0.

Если же ± < 1, то покажем, что множества X± не существует. Предположим от противного, что такое множество X± найдется, тогда множество (X n X±) \ ([1 ¡ ±;±]) не пусто, ибо в противном случае X n X± ½ [0;1 ¡ ±] и ¹(X n X±) < 1 ¡ ± и чтобы выполнялось условие теоремы, необходимо, чтобы 1¡± < ±, т. е ± > 1=2, что не так. Поэтому на множестве X n X± существует последовательность (fk(x))1k=1 такая,

что lim xk = 1. Далее, пусть на множестве X n X± последовательность

k!1

(fn) равномерно сходится к нулю. Это означает, что для любого " > 0 найдется такой номер n0, что 8n > n0 jxnj < ".

Пусть " < 1, тогда xnk < " 8n > n0 и при k ! 1 имеем: 1 6 ", что противоречит выбору ".

П р и м е р 10. Исследовать на сходимость по мере к функции f на измеримом множестве X следующие последовательности:

6

1)fn(x) = xn; x[0;1]; 2)fn(x) = cosn x; x 2 R:

7

3.5.sin (jf1(x)j + jf2(x)j + jf3(x)j + jf4(x)j);

3.6.(5 + jf1(x)j + jf2(x)j)f3(x);

8

9