3. Дисперсионные характеристики замедляющих систем

Наиболее существенные свойства замедляющих систем отражаются их дисперсионными характеристиками, позволяющими найти фазовую и групповую скорости пространственных гармоник на данной частоте. Проведем анализ распространения электромагнитных волн в двух самых распространенных - гребенчатой и спиральной замедляющих системах.

Гребенчатая замедляющая система.

x

Н 2 2 2

D 1 z

Рис. 4.5.

Разделим весь объем системы на две частичные области - пространство взаимодействия (1) и пазы (2) . Решение волнового уравнения в области 1 для мембранной функции П(x,y) при условии /y = 0 запишем в виде :

П₁(x) = Aexp(- x ) + Вexp(  x ). (4.18)

На гладкой металлической поверхности х = 0 функция П₁ должна обращаться в нуль, что дает возможность исключить одну из постоянных интегрирования :

П₁ = B₁sh (  x ) . (4.19)

Рассмотрим электромагнитное поле в области 2 (паз ЗС). Если паз достаточно узкий, то можно считать, что поле не зависит от координаты z .

Так как зависимость поля от координаты y также отсутствует, волновое уравнение для функции П₂ принимает вид П^₂(х) + к²П₂(х) = 0 , откуда с учетом граничного условия

П₂(D + H) = 0 получим

П₂ = A₂[-sin (kx) + sin k(D+H) cos (kx) / cos k(D+H)] = Csin k(D+H-x) , (4.20)

где C = A₂/ cos k(D+H) .

Для сшивания полей на границе раздела областей воспользуемся граничными условиями, которым должна удовлетворять функция П(х) на границе 1 и 2 области (предварительно усреднив её по периоду замедляющей системы) :

æ₁²П₁ = æ₂²П₂ , ₁П₁/ n = ₂П₂/ n . (4.21)

Поскольку на поверхности зубца П₂ = 0, то

П_2ср. = (1/L)П₂(D, z)dz = (D/L)Csin(kH) . (4.22)

Таким образом , -²ВshD = k²(D/L)CsinkH ;

BchD = -k(D/L)CcoskH .

Разделив первое уравнение на второе и помножив левую и правую части на Н, найдем дисперсионное уравнение гребенки

Н th [(D/H) H] = kH tg (kH), (4.23)

позволяющее для заданного волнового числа k найти поперечное волновое число  , а следовательно, постоянную распространения

h = (k²+ ²)^1/2 = k[1 + ( / k)²]^1/2

и коэффициент замедления фазовой скорости волны

к_з = h / k = [ 1 + ( / k)² ]^1/2.

Дисперсионные характеристики основного типа волны в плоской гребенке, построенные по уравнению (4.23), показаны на рис. 4.6 .

kH



1,2 0,1

D/H = 0,01

0,8

0,4

0 8 16 24 hH

Рис. 4.6. Дисперсионные характеристики гребенчатой ЗС.

Нижняя частота отсечки равна нулю, а верхняя определяется из условия kH =  / 2, т.е. на верхней частоте глубина паза равна четверти длины волны в свободном пространстве.

На низких частотах (кН << 1) тангенсы в (4.23) можно заменить их аргументами, откуда следует, что к_з = 1 + H / D , т.е. замедление не зависит от частоты. Вблизи частоты отсечки замедление стремится к бесконечности. При этом, однако, нарушается условие

L << _кр и уравнение (4.23) , не учитывающее наличия пространственных гармоник, теряет смысл. (Учет этих гармоник приводит к дисперсионным характеристикам, показанным на рисунке 4.6 пунктиром.)

Спиральная замедляющая система.

2

1

d

2a

Рис.4.7. Спиральная замедляющая система.

Опишем электромагнитное поле волны в свободной спирали с помощью метода

частичных областей. Поле в области 1 (r < a) определяется функциями

П_е(r, ) = A_e I_n(r)cos (n ) и П_h (r,) = A_hI_n (r)sin(n ) ,

где I_n - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n.

E_1r = [-ihA_eI^/_n(r) - in(/r)A_hI_n(r)] cos(n) ;

E_1 = [-(nh/r)A_eI_n(r) +iA_h I^/_n(r)] sin (n) ;

E_1z = -²A_eI_n(r) cos(n) ;

H_1r = [-(in/r)A_eI_n(r) - ihA_e I^/_n(r)] sin (n) ;

H_1 = [iA_eI^/_n(r) - (ihn/r)A_hI_n(r)] cos(n) ;

H_1z = -²A_hI_n(r) sin (n) ;

Аналогичные выражения характеризуют электромагнитное поле в области 2 (r > a).

E_2r = [-ihB_eK^/_n(r) - (in/r)B_h K_n(r)] cos(n) ;

E_2 = [-(hn/r)B_e K_n(r) + iB_h K^/_n(r)]sin(n) ;

E_2z = -²B_eK_n(r) cos (n) ;

H_2r = [-(in/r)B_eK_n(r) - ihB_hK^/_n(r)] sin (n) ;

H_2 = [iB_eK^/_n(r) - (ihn/r)B_hK_n(r)] cos(n) ;

H_2z = -²B_hK_n(r) sin(n) .

Функции I_n(x) и K_n(x) в первой и во второй областях выбраны из условия конечности поля на оси ЗС и бесконечно большом расстоянии от нее. На поверхности замедляющей системы составляющая электрического поля, параллельная виткам спирали, должна обращаться в нуль :

E_1z(a) sin  + E_1(a) cos  = 0 ;

E_2z(a) sin  + E_2(a) cos  = 0 ,

где  - угол навивки спирали.

Составляющие электрического поля, перпендикулярные виткам спирали, и составляющие магнитного поля, параллельные виткам спирали, на ее поверхности должны быть непрерывны.

E_1z(a) cos - E_1(a) sin = E_2z(a) cos - E_2(a) sin ;

H_1z(a) sin - H_1(a) cos = H_2z(a) sin - H_2(a) cos .

Подставив в эти формулы выражения для электромагнитного поля, получим систему однородных линейных уравнений относительно коэффициентов А_е , А_h , B_e , B_h . Ненулевые решения этой системы возможны при равенстве ее определителя нулю.

I^/_n(a)K^/_n(a) / I_n(a)K_n(a) + (²a²- nha ctg)²/ (ka)²(a)²ctg² . (4.24)

Дисперсионное уравнение (4.24) позволяет для заданного волнового числа к найти значения поперечного волнового числа  , соответствующие различным типам волн в спиральной ЗС. Наибольший интерес представляет азимутально-однородная волна (n = 0), имеющая отличную от нуля продольную составляющую электрического поля на оси ЗС. Для этой волны дисперсионное уравнение принимает вид

(ka)² ctg² = (a)²I₀(a)K₀(a) / I₁(a)K₁(a) . (4.25)

При a >> 1 значение дроби в (4.25) приближается к единице. В этом случае справедливо приближенное уравнение ka ctg = a , в соответствии с которым замедление фазовой скорости

К_з = h / k = [ 1 + (a/ka)²]^1/2 = [1 + ctg²]^1/2 = 1/sin .

k

_ф = С

_ф = С sin



Рис. 4.8. Дисперсионная характеристика спиральной ЗС.

Таким образом, при больших частотах замедление фазовой скорости в спирали не зависит от частоты, т.е. дисперсия отсутствует. На низких частотах фазовая скорость начинает возрастать, стремясь к скорости света. На форму дисперсионной характеристики спиральной ЗС существенно влияют внешний экран и диэлектрические опоры. Подбирая конфигурацию и материал этих элементов конструкции, можно получать желаемую форму дисперсионной характеристики.