58

Т е м а 4 Замедляющие системы

Колебательные системы СВЧ, используемые в электронных приборах, предназначены для взаимодействия электромагнитной волны с движущимся электронным потоком. Наиболее эффективно такое взаимодействие осуществляется при сохранении соответствующей фазы. Скорость электронов всегда меньше скорости света, поэтому для осуществления взаимодействия электромагнитных волн с электронами необходимо уменьшать фазовую скорость волн в волноводе, так как она всегда больше скорости света. Замедление осуществляется при помощи специальных устройств, называемых замедляющими системами и обладающих тем свойством, что распространяющиеся над ними волны имеют фазовую скорость меньше скорости света. Мы рассмотрим некоторые из них.

4.1. Поверхностные волны

Электромагнитные волны, фазовая скорость которых меньше скорости света в данной среде, называются медленными волнами. Поскольку для этих волн _ф  С, то это означает, что /h  /k  h  k . Последнее говорит о том, что в волновом уравнении для поперечной составляющей вектора Герца æ²  0 (медленные волны имеют отрицательный коэффициент разделения) .

Произведём замену р² = -æ² = h² - k²  0 и перепишем уравнение :

²П - р²П = 0 , р²  0 . (4.1)

Рассмотрим медленную волну, распространяющуюся над плоскостью в декартовой системе координат. Пусть ²П/y² = 0 , тогда из (4.1) имеем :

d²П/dx² - р²П = 0  П = Ае^рх + Ве^-рх . (4.2)

Считая, что поле на бесконечности должно стремится к нулю, положим

А = 0 , и , таким образом : П_z = Ве^-рхе^-i(hz-t) . (4.3)

Функция П экспоненциально убывает по мере удаления от поверхности, что является признаком поверхностных (“прилипающих”) волн.

Аналогичная ситуация наблюдается и в цилиндрической системе координат. В этом случае решением уравнения (4.1) будут являться цилиндрические функции мнимого аргумента : П = Z_m(ipr){cosm или sinm}, асимптотикой которых при pr  1 являются функции , пропорциональные х^-1/2е^рх и х^-1/2е^-рх , то есть , характер поведения функций остаётся прежним. Это правило является общим для всех систем координат и поэтому все медленные волны обладают одним общим свойством : они быстро убывают по мере удаления от той поверхности, над которой распространяются, и являются поверхностными волнами.

4.2. Диэлектрические замедляющие системы

В качестве таких систем обычно применяют диэлектрические пластины и стержни. Физика эффекта замедления здесь сводится к следующему. При возбуждении электромагнитного поля в такой системе возникает два типа волн : обыкновенные волны в диэлектрике и поверхностные волны над диэлектриком. Поскольку оба типа волн связаны между собой непрерывностью тангенциальных составляющих поля на границе раздела, скорость их распространения ограничивается самой медленной составляющей, т.е. волной в диэлектрике. Скорость последней меньше скорости света в среде над диэлектриком, что и определяет эффект замедления.

В качестве примера рассмотрим плоский диэлектрический слой.

x

x=L

2L z

y  ,   1

x=-L

 ,  = 1 Рис. 4.1.

Пусть возбуждаемое поле не зависит от y. Тогда внутри слоя поле является решением уравнения

d²П/dx² +æ²П = 0, где æ² = k² - h² = k₀² - h², k₀² = ²₀₀ .

Рассмотрим ТМ- поле. Частные решения П_е = Аsinæx и П_е = Вcosæx позволяют найти компоненты этого поля. Так, для Аsinæx получаем :

E_ex = ih(П_е/x)e^ihz = ihæAcosæx e^ihz , (4.4)

E_ez = æ²П_е е^ihz = æ²Asinæx e^ihz ,

H_ey = i(dП/dx)e^ihz = iAcosæx e^ihz ,

E_ey = H_ex = H_ez = 0 .

Вне пластины поле выражается поверхностными волнами: П_еz=Ce^-pxe^ihz , т.е. для его компонент имеем :

Е_х = -ihpCe^-px+ihz , E_z = -p²Ce^-px+ihz , H_y = -i₀Cpe^-px+ihz . (4.5)

На границе раздела тангенциальные составляющие должны быть непрерывны, следовательно : -p²Ce^-pL = æ²AsinæL ,

-pCe^-pL = æAcosæL . (4.6)

Из (4.6) следует p = (æ/)tgæL или (pL) = ^-1(æL)tg(æL) . (4.7)

Из второго частного решения получим :

(pL) = -^-1(æL)сtg(æL) . (4.8)

Уравнение (4.7) даёт чётную волну, (4.8) - нечётную. В качестве примера возьмём решение для чётных волн. Поскольку р  0, то при ^-1(æL)tg(æL)  0 решение отсутствует. Так как р² = h² - k₀² , a æ² = k² - h² , то æ² + р² = k² - k₀² = k₀²( - 1) , или иначе : (pL)² + (æL)² = (k₀L)²( - 1) . (4.9)

Уравнение (4.9) есть уравнение окружности с радиусом R= k₀L( -1)^1/2 и центром в начале координат (æL) , (pL) . Следовательно искомые решения есть пересечения окружности и тангенсоиды (см. рис. 4.2) .

(æL)tg(æL)

(æL) Рис.4.2.

/2  3/2

Из графиков видно, что чем больше R , тем большее число медленных волн возможно в системе. Волновые числа находятся из соотношения h²=k²+p², откуда фазовая скорость волны _ф = /h = /(k² + p²)^1/2  C .