49

Т Е М А 3

Электромагнитные колебания в нерегулярных волноводах и резонаторах.

Мы рассматривали электромагнитные колебания в регулярных волноводах с идеально проводящими стенками и резонаторах без потерь. В реальных волноводных системах нарушается как регулярность волноводов (за счет их конечной длины, различных сочленений и изменений формы, устройств ввода - вывода энергии и т.д.), так и идеальная проводимость стенок волноводов и резонаторов (поскольку стенки выполнены из материалов конечной проводимости). Перечисленные отличия приводят, с одной стороны, к появлению в волноводе отраженных волн, которые складываясь с падающими волнами, существенно изменяют картину поля в волноводе; с другой стороны, к затуханию электромагнитных колебаний вследствие потери энергии на нагрев стенок волновода или резонатора. Остановимся на этих эффектах подробнее.

3.1. Затухание волн в волноводах и резонаторах

Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, необходимо установить соотношения, действующие между электрическим и магнитным полем на поверхности стенки конечной проводимости, поскольку в этом случае электрическое поле здесь уже нельзя считать равным нулю. Для этого рассмотрим падение плоской волны на плоскую границу раздела.

₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁₂

₂ z

₁

Рис. 3.1.

Как известно, в первой среде существуют падающая и отраженная волны, во второй среде существует только прошедшая волна, причём углы ₁ и ₂ связаны между собой соотношением

sin₁ = nsin₂ , где n = (₁₂₁₂/₁₁₁₁)^1/2.

В нашем случае первая среда представляет собой хороший изолятор (внутреннее заполнение волновода или резонатора), вторая среда - хороший проводник (стенка).

Для n в этом случае ( |₁₂₁₂|  |₁₁₁₁| ) имеем :

n = (₁₂₁₂/₁₁₁₁)^1/2  (/₀)^1/2 >>1 (n  10⁴). (3.1)

Таким образом, можно считать, что для реальных волноводов в СВЧ диапазоне ₂  0 .

Последнее означает, что во второй среде (стенке) распространение волны идёт нормально поверхности раздела.

Применим это условие к известному из курса общей электродинамики соотношению Е = (₁/₁)^1/2[H,R] , выполняюшемуся для плоской волны. (R - единичный вектор нормали в сторону распространения волны.)

Именно : поскольку для второй среды верно

Е₂ = (₁₂/₁₂)^1/2[H₂,R₂] , R₂ = Z₀ , и Е₂ = Е₂ , Н₂ = Н₂ ,

то, применяя к написанным соотношениям условие непрерывности тангенциальных составляющих (Е и Н) на границе раздела, получим :

Е₁|_z=0 = (₁₂/₁₂)^1/2[H₁ ,Z₀]|_z=0 . (3.2)

Вводя правую тройку орт-векторов (Х₀ , Y₀ , Z₀) , соотношение (3.2) можно переписать : Е₁|_z=0 = (Е_хХ₀ +Е_yY₀)|_z=0 = (₁₂/₁₂)^1/2(H_yХ₀ - H_xY₀)|_z=0 ,

откуда имеем :

Е_х|_z=0 = (₁₂/₁₂)^1/2H_y|_z=0 , E_y|_z=0 = -(₁₂/₁₂)^1/2H_x|_z=0 . (3.3)

Соотношения (3.3) известны в литературе под названием приближенных условий

Леонтовича. (Приближенность здесь понимается в смысле того, насколько справедливо соотношение (3.1), а также насколько форма фронта волны и поверхности волновода отличается от плоской.)

В этой связи возникает вопрос о применимости условий Леонтовича в произвольном случае. Строгое рассмотрение вопроса сводится по существу к следующему :

Предположим, что в произвольной точке поверхности выполняются условия :

1. |₁₂₁₂|  |₁₁₁₁| - поверхность отделяет хороший диэлектрик от хорошего

проводника,

2.    = (2/₁₂₂)^1/2 - толщина второй среды (стенки) намного больше

толщины скин-слоя (глубины проникновения поля).

3.    - радиус кривизны волнового фронта намного больше тол-

шины скин-слоя,

4. а   - радиус кривизны поерхности раздела намного больше тол-

щины скин слоя.

Тогда в произвольной точке поверхности мы получаем случай падения локально плоской волны на локально плоскую поверхность раздела между хорощим диэлектриком и хорошим проводником. Это означает, что в данной точке справедливы условия Леонтовича. Поскольку точка выбрана произвольно, условия применимы ко всей поверхности.

В случае реальных волноводов, применяемых на практике в СВЧ-диапазоне, перечисленные условия всегда выполнимы, а следовательно, выполнимы и условия Леонтовича.

На этом этапе можно перейти к рассмотрению вопроса о затухании волн в волноводе с конечной проводимостью стенок.

Волновое уравнение для вектора Герца остаётся прежним :

²П + æ²П = 0 , æ² = k² - h² , (3.4)

но граничные условия изменяются :

Е_s = - wH_z , E_z = wH_s , w = (₁₂/₁₂)^1/2 . (3.5)

Поскольку :

E_s = E_es + E_hs = e^ihz(ihП_е/s + i₁₁П_h/n),

E_z = E_ez + E_hz = e^ihz(æ²П_е + 0),

Н_s = H_es + H_hs = e^ihz(-i₁₁П_е/n + ihП_h/s),

H_z = H_ez + H_hz = e^ihz(0 + æ²П_h) , (3.6)

то в качестве граничных условий для вектора Герца имеем:

ih(П_е/s)|_L + i₁₁(П_h/n)|_L = -wæ²П_h|_L ,

w(ihП_h/s - i₁₁П_е/n)_L = æ²П_е|_L . (3.7)

Для волновода с идеально проводящими стенками мы имели

 =   ₁₂ =   w = 0  П_е|_L = 0 , П_h/n|_L = 0 ,

в результате чего краевую задачу можно было разбить на две независимых задачи для П_е и П_h . Теперь дело обстоит сложнеее, поскольку мембранные функции П_е и П_h оказываются связанными между собой краевыми условиями задачи. Последнее означает, что “чистых” Е- и Н- волн уже не существует так как они содержат компоненты друг друга. Изменяются и другие свойства волновода, однако для металлов с хорошей проводимостью (медь, серебро, золото) эти изменения относительно малы, поскольку возникающая краевая задача отличается от краевой задачи идеального волновода малым возмущением в краевых условиях. Пользуясь методами теории возмущений можно оценить и величину вносимых поправок, но все они будут порядка |w|  10^-4. Реальный интерес из всех новых эффектов представляет лишь затухание волн в волноводе.

Для определения затухания П(x,y)e^ihz необходимо вычислить мнимую часть h = (k² - æ²)^1/2. Для этого прежде всего необходимо знать æ. Пользуясь методом теории возмущений, вычисление первого приближения æ можно провести без решения краевой задачи (3.4) –(3.7). Введём малый параметр w_m по правилу :

w_m = (₁₁/₁₁)^1/2w  10^-4 . (3.8)

Перепишем краевые условия (3.7) :

ih(₁₁/₁₁)^1/2(П_е/s)|_L + ik(П_h/n)|_L = -w_mæ²П_h|_L ,

w_m[ih(₁₁/₁₁)^1/2П_h/s - ikП_е/n]|_L = æ²П_е|_L . (3.9)

Решение представим в виде ряда :

П = П₀ + w_mП₁ + w_m²П₂ + . . . .

æ² = æ₀² +w_mæ₁² + w_m²æ² + . . . . (3.10)

Под П₀ и æ₀² понимаем решения для идеального волновода. Пользуясь уравнением (3.4) и отбрасывая члены второго порядка малости получим :

²П₀ + æ₀²П₀ = 0 , ²П₁ + æ₀²П₁ = -æ₁²П₀ , (3.11)

где для П₀ и П₁ имеем следующие краевые условия :

П_0е|_L = 0 , (П_h/n)|_L = 0 ,

ih(₁₁/₁₁)^1/2(П_1e/s)|_L + ik(П_1h/n)|_L = -æ₀²П_0h|_L ,

[ih(₁₁/₁₁)^1/2П_0h/s - ikП_0e/n]|_L = æ₀² П_1e|_L . (3.12)

Нулевое приближение уже знаем , поэтому ищем æ₁². Для этого воспользуемся формулой Грина :

/n - /n)dl = ² - ²)ds ,

где положим

 = П₀ ,  = П₁ .

Получим :

П₁П₀/n - П₀П₁/n)dl = æ₁²П₀)²ds ,

откуда следует, что

П₁П₀/n - П₀П₁/n)dl

æ₁ = . (3.13)

П₀)²ds

Рассмотрим ТМ тип колебаний, т.е. когда П₀ = П_0е , П_0h = 0 .

Для æ₁² верно :

П_1еП_0е/n)dl

æ₁²_ТМ = . (3.14)

П_0е)²ds

Поскоьку по (3.12) для П_1е|_L верно : П_1е|_L = -(ik/æ₀²) П_0е/n|_L , то :

-(ik/æ₀²)П_0е/n)²dl

æ₁²_ТМ = . (3.15)

П_0е)²ds

Рассмотрим ТЕ тип колебаний, т.е. когда П₀ = П_0h , П_0e = 0.

Для æ₁² верно :

П_0hП_1h/n)dl

æ₁²_ТE = . (3.16)

П_0h)²ds

Для (П_1h/n)|_L по (3.12) имеем : (П_1h/n)|_L=(iæ₀²/k)П_0h- (h/k)(₁₁/₁₁)^1/2П_1е/s=

= (iæ₀²/k)П_0h|_L - (h/k)/s[(ih/æ₀²)(П_0h/s)] , откуда получаем :

(i/k)(h₀²/æ₀²)П_0h (²П_0h/s²) - æ₀²(П_0h)²)dl

æ₁²_ТE = . (3.17)

П_0h)²ds

Итак, согласно (3.15) и (3.17) æ₁² можно определить по нулевому приближению задачи. Следовательно можно определить и коэффициент затухания

h^// = Im(k² - æ²)^1/2 = Im(h₀² - w_mæ₁²)^1/2.

Оценим зависимость h^// от  , при   _кр , когда h₀²  w_mæ₁² .

ТМ- поле : h^// = Im(h₀² - w_mæ₁²)^1/2  Im(h₀ - w_mæ₁²/2h₀) ,

Imw_m = Im(₁₂₁₁/₁₁₁₂)^1/2 = Im(₁₂₁₁/₁₁₁₂^//)^1/2 = Im{[(1-i)/2](₁₂₁₁/₁₁)^1/2} =

= -(₁₂₁₁/2₁₁)^1/2 , h^//  (kB/2æ₀²h₀)(₁₂₁₁/2₁₁)^1/2   . (3.18)

В – отношение контурного и поверхностного интегралов в (3.15). Такая зависимость h^// от  называется нормальным затуханием.

ТЕ поле : h^// = Im{-[(1-i)/2h₀](₁₂₁₁/2₁₁)^1/2(i/k)(h₀²B₁ + B₂) .

В₁ и В₂ - отношения контурных интегралов к поверхностному в (3.17).

Здесь возможны два варианта :

1. h₀²B₁  B₂ , тогда h^//   (нормальное затухание),

2. h₀²B₁  B₂ , тогда h^//  1/ (аномальное затухание).

Аномальное затухание бывает только у Н-волн ( например, волна Н_0n в круглом волноводе) . В заключение приведём формулы для коэффициента затухания у основных типов волн в прямоугольном, круглом и коаксиальном волноводах.

Прямоугольный волновод, волна Н₁₀ :

h^// = /h₀a)(k²a/2b + ²/a²) , h₀ = (k²-²/a²) ,  = (2/₁₂) . (3.19)

Круглый волновод, волна Н₁₁ :

h^// = [/2(₁₁² - 1)ah₀][k² + ₁₁²(₁₁² - 1)/a²] , ₁₁ = 1,84. (3.20)

Коаксиальный волновод, волна ТЕМ типа :

h^// = k(1/a +1/b)/2ln(a/b) . (3.21)

Порядок величины затухания составляет сотые децибела на метр.