Способы возбуждения волноводов и резонаторов

Исходя из принципа взаимности, можно утверждать, что конструкции устройств, предназначенных для возбуждения волны определённого типа, должны быть подобны конструкциям устройств, предназначенных для извлечения энергии из волны того же типа. Представим себе, что в волноводе распространяется волна определённого типа. Каким образом можно извлечь максимальную энергию из этого волновода ?

Известны следующие способы решения подобной задачи.

1. В волновод необходимо поместить провод (систему проводов) в точках максимальной напряженности электрического поля, ориентировав их так, чтобы оси проводов совпадали с направлением поля. При такой ориентации проводов, индуцируемая в них э.д.с. будет максимальна.

2. В волновод необходимо поместить рамку (систему рамок) с током, ориентировав их так, чтобы нормаль к плоскости рамок совпала с направлением напряженности магнитного поля. При этом рамка (система рамок) должна находиться в точках максимальной напряженности поля.

Исходя из вышеизложенного, на основании принципа взаимности, приходим к следующим правилам возбуждения волны заданного типа в волноводе при помощи

антенн (штыря или петли) :

1. Необходимо установить структуру поля возбуждаемой волны.

2. Поместить в волновод проводник (систему проводников) с током, расположив их вдоль вектора напряженности электрического поля в тех точках, где это поле должно быть максимально.

3. Поместить в волновод рамку (систему рамок) с током в точки, где напряженность магнитного поля должна быть максимальна и ориентировать плоскости рамок нормально линиям магнитного поля.

Фазы тока в проводниках должны соответствовать фазе поля в этих точках.

(Теория расчета возбуждаемого поля по заданным источникам будет дана ниже.)

Пример : волна Н₁₀ в прямоугольном волноводе (см. рис. 2.8).

x x

. +

. . + + +

. . . + + + + +

. . + + +

. +

y z

z₀ z₀ + /2

( Рис.2.8.) +. Е , Н .

Конструкции антенн :

Возбуждение “штырём”	Возбуждение “петлёй”
y x	y z

Рис. 2.23.

Конструктивно это осуществляется при помощи коаксиального кабеля с выводом центральной жилы в виде штыря или петли.

Возбуждение волноводов, резонаторов и извлечения из них энергии осуществляется также при помощи отверстий в стенах, имеющих форму узких щелей. Слово узкий понимается в том смысле, что поперечные размеры щели намного меньше поперечных размеров волновода и длины рассматриваемой волны. Так же, как и при возбуждении волновода проводниками с током, щель должна быть определённым образом ориентирована относительно силовых линий поля. Здесь можно рассмотреть два случая :

1. Щель прорезана параллельно силовым линиям тока (рис.2.24.1).

2. Щель прорезана перпендикулярно силовым линиям тока (рис. 2.24.2).

1 Je	2 + - Je + - + - + -

[ n , H ] = - J_e Рис. 2.24.

Нетрудно убедиться, что в первом случае щель практически не “прерывает” и, следовательно, не искажает силовых линий тока. Поле в таком волноводе остается практически неизменным, как и в невозмущённом волноводе. (Это следует из устойчивости решений задач математической физики к малым возмущениям граничных условий.) Последнее означает, что излучения через такую щель практически не будет и, следовательно, по принципу взаимности, такая щель не может быть использована для возбуждения волновода. Во втором случае ситуация изменяется на обратную, на щели появляется интенсивное электрическое поле, продолжающее прерванные линии поверхностного тока, и щель становится излучающей.

Таким образом, для того чтобы возбудить в волноводе волну заданного типа при помощи щели, её необходимо прорезать перпендикулярно силовым линиям поверхностного тока (а значит, вдоль линий магнитного поля) в точках максимальной напряженности магнитного поля и создать на щели электрическое поле, силовые линии которого продолжали бы линии поверхностного тока. Примеры возбуждающих и невозбуждающих щелей для прямоугольного волновода и волны Н₁₀ приведены на рисунке 2.25.

4

Н₁₀

1

3 Рис.2.25.

2 1 , 2 - возбуждающие щели ;

3 , 4 - невозбуждающие щели .

Расчет электромагнитного поля в волноводах и резонаторах

по заданным источникам возбуждения

Общий метод решения задач о возбуждении волн в волноводах и колебаний в резонаторах можно пояснить на примере возбуждения бесконечного волновода

(возбуждение полубесконечного волновода и резонаторов будет пояснено ниже).

Рассмотрим цилиндрический волновод произвольного сечения, в некотором объеме V которого (простирающемся от z₁ до z₂ по оси волновода) задан сторонний ток J_e , а в его оболочке (S) имеется отверстие, на поверхности (S₀) которого задано стороннее электромагнитное поле Е₀ и Н₀ (рис. 2.26.).

Е₀ , Н₀

 S S₀

S₁ J_e S₂

z₁ z₂ z

V

Рис. 2.26. Возбуждение волновода сторонними токами и полем.

Согласно (1.41) и (1.47) электромагнитное поле в волноводе будет определятся уравнениями :

²П_е + ₁₁(²П_е /t²) = -(1/₁)Р_ст , (2.97)

²П_h + ₁₁(²П_h /t²) = - (1/₁)М_ст . (2.98)

с граничными условиями :

П_е |_S = 0 , П_h/n|_S = 0 . (2.99)

Рассмотрим случай, когда отсутствуют волны, бегущие по волноводу к объёму V.

Физически это означает, что все источники поля сосредоточены в объеме V. Согласно общей теории цилиндрических волн решение для П_е и П_h может быть представлено в виде суммы, каждое из слагаемых которой представляет произведение функции, зависящей от z и t, на поперечную функцию частного искомого решения, т.е.

П_е = а_m(z,t)П_еm(x,y) , (2.100)

П_h = б_n(z,t)П_hn(x,y) , (2.101)

где П_еm(x,y) и П_hn(x,y) - решения двумерных уравнений

² _xyП_еm + ²_mП_еm = 0 , (2.102)

² _xyП_hn + ²_nП_hn = 0 ,

в поперечном сечении волновода S, удовлетворяющие граничным условиям

П_еm |_ = 0 , П_hn/n|_ = 0 (2.103)

на контуре  этого сечения. Коэффициенты разложения (2.101) найдем из уравнений (2.97 - 2.98). Для этого уравнение (2.97) умножим скалярно на П^*_еmdS , а (2.98) на П^*_hndS и проинтегрируем по поперечному сечению S.

Вводя ортонормирование функций П_еm и П_hn к единице

П^*_em\ П_em)dS = {1, если m^| =m ; 0, если m^| m},

П^*_hn\ П_hn)dS = {1, если n^| =n ; 0, если n^| n}, (2.104)

и заменяя оператор ² на сумму ²/z² + ²_xy , получим

²а_m /z² - ²_mа_m - ₁₁²а_m /t² = -(1/₁)Р_(m) (z,t),

²б_n /z² - ²_nб_n - ₁₁²б_n /t² = -(1/₁)M_(n) (z,t), (2.105)

где Р_(m) (z,t) = Р_ст, П^*_em)dS , M_(n) (z,t) = M_ст, П^*_hn)dS. (2.106)

Следовательно, решение задачи о возбуждении волновода сводится к определению собственных поперечных функций П_еm и П_hn , а также к вычислению коэффициентов разложения (2.100 и 2.101). Задача о вычислении функций П_еm и П_hn есть двумерная задача, решаемая для данного конкретного вида поперечного сечения волновода (см., например, прямоугольный или круглый волновод). Что же касается определения коэффициентов

а_m и б_n , то оно сводится к решению уравнений (2.105).

Для гармонической временной зависимости эти уравнения принимают вид :

²а_m /z² + ²_mа_m = -(1/₁)Р_(m) ,

²б_n /z² + ²_nб_n = -(1/₁)M_(n) (z,t), (2.107)

где ²_m и ²_n определяются согласно равенству

²_m,n = ² - ²_m,n . (2.108)

Уравнения (2.107) подобны. Решение каждого из них представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частных решений неоднородного. Но общее решение однородного уравнения (его правая часть равна нулю) означает существование волн, когда источники отсутствуют, следовательно это решение можно опустить в соответствии с условием об отсутствии волн, приходящих к объему V из бесконечности.

Частные решения (2.107) будем искать в виде интегралов Фурье

а_m(z) = _m()exp(-iz)d . (2.109)

Подставим это решение в первое из уравнений (2.107)

-_m()² exp(-iz)d + ²_m_m()exp(-iz)d = -(1/)Р_(m) ,

или (²_m - ²)_m()exp(-iz)d = -(1/)Р_(m) . (2.110)

Применим (2.110) обратное преобразование Фурье

(²_m - ²)_m() = -(1/2)(1/)Р_(m)(z^/ ) exp(iz^/ )dz^/ , (2.111)

или _m() = [1/2(² - ²_m)]Р_(m)(z^/ ) exp(iz^/ )dz^/ . (2.112)

Подставив это выражение в (2.109), получим :

а_m(z) = [1/2(² - ²_m)]{ Р_(m)(z^/ ) exp(iz^/ )dz^/} exp(-iz)d =

= (1/)[ exp -i (z - z^/ )/ 2(² - ²_m)] d Р_ст, П^*_em)dS . (2.113)

Обозначим [ exp -i (z - z^/ )/ 2(² - ²_m)] d = П_em (z - z^/ ) . (2.114)

Бесконечные пределы во внутреннем интеграле (2.113) могут быть заменены пределами z₁ и z₂ , так как вне этого отрезка волновода Р_ст = 0 . Тогда вместе с интегралом по поперечному сечению внутренний интеграл превращается в интеграл по объему V, занятому источниками :

а_m(z) =(1/)Р_ст(x^/,y^/,z^/) П^*_em(x^/,y^/) П_em (z - z^/ )dv^/ . (2.115)

К интегралу П_em (z - z^/ ) можно применить теорему о вычетах :

П_em (z - z^/ ) = (i/_m)exp(-i _m |z - z^/ | .

Отсюда а_m(z) = (i/_m) Р_ст(x^/,y^/,z^/) П^*_em(x^/,y^/) exp(-i _m |z - z^/ | dv^/ . (2.116)

Аналогично б_n(z) = (i/_m) M_ст(x^/,y^/,z^/) П^*_hn(x^/,y^/) exp(-i _n |z - z^/ | dv^/ . (2.117)

Решая двумерную задачу для определения П_еm и П_hn и подставляя найденные значения П^*_еm и П^*_hn в (2.116) и (2.117), можно вычислить коэффициенты а_m(z) и б_n(z).

Задача о возбуждении полубесконечного волновода решается этим же методом, но с той разницей, что здесь нужно учесть и общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения (2.107) без правой части, и использовать для определения константы интегрирования граничные условия на поперечной стенке.

В случае замкнутого объема задача о возбуждении колебаний упрощается, так как физическая картина явления позволяет производить разложение решения в ряд по собственным функциям соответствующей трехмерной задачи, когда коэффициенты разложения являются функциями только времени. В случае волновода разложение по собственным волнам с коэффициентами, зависящими только от времени, невозможно, так как внутри объема V существуют волны двух направлений с амплитудой, зависящей от z . Действительно, в областях z < z₁ и z > z₂ в волноводе возникают волны, бегущие в направлении от объема источников V. Эти волны представляют суперпозицию собственных волн с неизменной амплитудой. Внутри же объема V амплитуды волн, распространяющихся вправо, возрастают от нуля до максимума, а амплитуды волн, распространяющихся влево, уменьшаются от максимума до нуля.