2.6. Объёмные резонаторы

Объёмным резонатором называется совокупность металлических и (или) диэлектрических тел, внутри или вблизи которых концентрируется переменное электромагнитное поле. Область существования этого поля V можно отделить от остального пространства условной границей S , излучение энергии через которую отсутствует или незначительно.

Количество энергии, запасённой в электромагнитном поле резонатора зависит от частоты и вблизи некоторых частот, называемых собственными, резко увеличивается. (Так же, как и в колебательном контуре.) Поскольку на СВЧ колебательные контуры, состоящие из конденсаторов и катушек трудно реализуемы, их функции выполняют объёмные резонаторы. Простейшим примером объёмных резонаторов являются отрезки уже изученных нами регулярных волноводов, ограниченные в двух сечениях z = const идеально проводящими стенками. Остановимся на некоторых из них подробнее.

Прямоугольный резонатор

Под прямоугольным резонатором можно понимать отрезок прямоугольного волновода длиной l. К нему полностью применима теория прямоугольного волновода с дополнительными ограничениями на величину электрического поля на стенках резонатора при

z = 0 , l .

0 l z

Рис. 2.18.

Е_ = 0  Е_х = Е_y = 0 при z = 0, l . (2.76)

Распишем условие (2.76) для ТМ- поля.

Как было получено ранее : П_еz= П_е(х,y)q_e(z) , q_e(z) = Acoshz +Bsinhz ,

E_ex= (П_е/х)(q_e/z) , E_ey= (П_е/y)(q_e/z) .

Поэтому условие (2.76) означает, что

(q_e/z)|_{z=0, l}= 0B = 0 , sin(lh) = 0 , h = p/l , (2.77)

где p = 0 , 1, 2, ....

Таким образом, П_ez в прямоугольном резонаторе имеет вид :

П_ez = C sin(mx/a) sin(ny/b) cos(pz/l) (2.78)

k² = ²{(m/a)² + (n/a)² + (p/l)²}.

Основным типом ТМ колебаний в прямоугольном резонаторе является Е₁₁₀ ,

k = [(1/a)² + (1/b)²]^1/2 ,  = 2ab/(a² + b²)^1/2 . (2.79)

Структура Е₁₁₀ в прямоугольном резонаторе :

z

линии Е

линии H

y

Рис. 2.19.

х

Повторяя проведённые рассуждения для ТЕ- поля, получим :

П_hz = C cos(mx/a) cos(ny/b) sin(pz/l) ,

k² = ²{(m/a)² + (n/a)² + (p/l)²}. (2.80)

Основным типом колебаний является H₁₀₁ :

k = [(1/a)² + (1/l)²]^1/2 ,  = 2al/(a² + l²)^1/2 . (2.81)

Структура поля Н₁₀₁ в прямоугольном резонаторе :

y

линии Е

линии H

x

Рис. 2.20.

z

Спектр собственных частот прямоугольного резонатора определяется выражением :

_mnp = k/()^1/2 = ()^-1/2{(m/a)² + (n/a)² + (p/l)²}^1/2. (2.82)

Как следует из (2.82), изменяя l , можно изменять собственную частоту выбранного типа колебаний в резонаторе.

Цилиндрический резонатор

Цилиндрический резонатор можно рассматривать как замкнутый отрезок цилиндрического волновода. Здесь также применима теория цилиндрического волновода с ограничением Е_|_z=0,l = 0 .

Таким образом, для П_е и П_h верно :

П_е = С J_m(_mnr/a) cos(m) cos(pz/l) ,

П_h = C J_m(_mnr/a) cos(m) sin(pz/l) , (2.83)

k_e = [(_mn/a)² + (/l)²]^1/2, k_h = [(_mn/a)² + (/l)²]^1/2 , _кр = 2/k .

Основными типами колебаний являются Е₀₁₀ и Н₀₁₁ . Структура силовых линий поля Е₀₁₀ и Н₀₁₁ показана ниже.

+ + + + + + Е010	+ + + : : :
Н011 Рис. 2.21.	: : : : : + + + + +

Как и в прямоугольном резонаторе, изменение размеров цилиндрического резонатора сопровождается изменением его собственных частот.

Сферический резонатор

Теория колебательных процессов в сферическом резонаторе сводится к решению волнового уравнения в сферических координатах. Именно, если

П(r,,) = f(r,,)exp(it) , то функция f удовлетворяет уравнению (2.84) :

(1/r²)/r[(1/r²)f/r] + (1/r²sin)/(sin f/) + (1/r²sin²)²f/² +k²f = 0, (2.84)

которое решается методом разделения переменных : f(r,,)=f₁(r)f₂()f₃() .

Мы не будем заниматься этой, достаточно стандартной процедурой и воспользуемся готовым результатом :

f(r,,) = C_nZ_n(kr)P_nm(cos) (cos m или sin m) . (2.85)

B качестве функций Z_n(kr) нужно взять бесселевы сферические функции, не обращающиеся в бесконечность при r=0. Числа m в этом случае - целые.

Этого требует однозначность полей в каждой точке (возвращение в точку при обороте по  на 2). Индексы n - также целые числа, начиная с 1, поскольку P_0m(cos) = 0,

а при m=0, P₀₀(cos)=const, что приводит к E_ = E_ = H_r = H_ = H_ = 0.

Собственные частоты находятся из граничных условий для Е- и Н- волн :

1. Е - волны : Z_n(kr)|_r=a = 0 , n = 1, 2, 3 ...;

2. H - волны : dZ_n(kr)/dr |_r=a = 0 , n = 1, 2, 3 ...

Cобственные частоты колебаний в сферическом резонаторе определяются корнями радиальной функции и её производной, а поэтому не зависят от индекса m. Основными типами колебаний являются Е₀₁₁ (_кр = 1,4а) и Н₀₁₁ (_кр = 2,28а).

Структура силовых линий изображена ниже (рис.2.22.).

Е011	Н011

Рис. 2.22. Структура силовых линий электромагнитного поля основных типов колебаний в сферическом резонаторе.

Теория полоскового, коаксиального и других резонаторов по существу не отличается от рассмотренных выше случаев и в целях экономии времени нами не рассматривается.