2.7. Возбуждение волноводов и резонаторов

Прежде чем перейти к рассмотрению возбуждения электромагнитного поля в волноводах и резонаторах, установим некоторые вспомогательные соотношения.

Лемма Лоренца. Принцип взаимности

Как известно, источниками электромагнитного поля для гармонических процессов являются сторонние токи, возбуждаемые в проводящих элементах специального устройства (антеннах). Рассмотрим область пространства V, где в каждой точке, но в разное время определены электромагнитные поля Е₁ , Н₁ , и Е₂ , Н₂ , создаваемые не зависящими друг от друга сторонними токами J_1e , J_1h и J_2e , J_2h . В установившемся режиме напряженности первого и второго полей удовлетворяют уравнениям :

rotE₁ = iH₁ | H₂

rotH₁ = -iE₁ - J_1e | E₂ (2.86)

rotE₂ = iH₂ | H₁

rotH₂ = -iE₂ - J_2e | E₁ (2.87)

Умножим первое уравнение (2.86) скалярно на H₂ , второе уравнение (2.87) скалярно на E₁ , вычтем из первого равенства второе и воспользуемся соотношением

(b,rota) - (a,rotb) = div[a,b] .

Получим : div[E₁ ,H₂] = - (J_2e ,E₁) + i(H₁ ,H₂) + i(E₁ ,E₂) . (2.88)

Повторяя проведенные рассуждения с двумя оставшимися уравнениями получим :

div[E₂ ,H₁] = - (J_1e ,E₂) + i(H₁ ,H₂) + i(E₁ ,E₂) . (2.89)

Вычитая из (2.88) (2.89), имеем :

div{[E₁ ,H₂] - [E₂ ,H₁]} = (J_1e ,E₂) - (J_2e ,E₁) . (2.90)

Соотношение (2.90) известно под названием леммы Лоренца в дифференциальной форме. Эта лемма справедлива, если :

(E₁ ,E₂) = (E₁ ,E₂) и (H₁ ,H₂) = (H₁ ,H₂) , (2.91)

для чего требуется чтобы  и  не зависели от Е и Н и были либо скалярными величинами, либо симметричными тензорами. Существует много сред, где это не выполняется (например, намагниченные ферриты или поляризованные диэлектрики). Такие среды называются невзаимными. Среды, для которых условие (2.91) справедливо, называются взаимными.

В данный момент мы рассматриваем взаимные среды. Проинтегрируем соотношение (2.90) по объёму V и воспользуемся соотношением :ivAdv = _n ds . Получим :

[E₁,H₂]_n - [E₂,H₁]_n}ds = (J_1e ,E₂)-(J_2e ,E₁)-(J_1h ,H₂)+(J_2h ,H₁)}dv . (2.92)

Соотношение (2.92) применим ко всему пространству, считая, что все источники находятся в конечной области, т.е. нет волн, приходящих из бесконечности. Тогда поверхностный интеграл исчезнет, так как на больших расстояниях поля Е и Н представляют собой волны одинаковой структуры, удовлетворяющие принципу излучения, т.е.

Е , Н  r ^{- (1+)} , где   0 .

Исчезнет этот интеграл и на металлических поверхностях, поскольку [E,H]_n содержит только тангенциальные составляющие поля Е, равные 0. Таким образом имеем :

J_1e ,E₂)dv = J_2е ,E₁)dv. (2.93)

Поскольку эти интегралы отличны от нуля лишь в областях источников V₁ и V₂ , то

J_1е ,E₂)dv = J_2e ,E₁)dv. (2.94)

Соотношение (2.93) называется принципом взаимности. Наиболее наглядно его можно пояснить на точечных источниках. Так, для точечных диполей :

J_e1 = P₁(r - r₁) , J_e2 = P₂(r-r₂) , (2.95)

что означает :

(P₁ , E₂(r₁)) = (P₂ , E₁(r₂)) ; (2.96)

Принцип взаимности сопоставляет результаты двух опытов в одной среде. В первом опыте диполь помещается в точку r₁ , а в некоторой точке r₂ меряется поле. Во втором опыте диполь помещается в точку r₂ , а поле меряется в точке r₁ . Утверждается, что соответствующие компоненты полей в обоих опытах одинаковы.