2.5. Волноводы сложной формы

Теория волноводов сложной формы по существу не отличается от рассмотренных нами задач конкретных типов волноводов прямоугольного и круглого сечения. Как уже было показано выше, здесь выделяются два случая : ТМ- поле - задача Дирихле , ТЕ- поле - задача Неймана.

Все особенности задач волноводов сложной формы заключаются лишь в том или ином выборе координат для проведения метода разделения переменных в волновом уравнении и решении получившихся уравнений второго порядка. (К примеру, для эллиптического волновода получается уравнение Матье.) Далее следует обычная процедура построения векторов Герца из собственных функций одномерных волновых уравнений.

Мы на этой теории останавливаться не будем. Существует, однако, широкий класс многосвязных сечений для которых теория имеет свои особенности, в частности, здесь возможно распространение полностью поперечных волн (ТЕМ поле) при любых частотах.

Примером такого волновода является коаксиальный волновод.

Как и в круглом волноводе, здесь су- ществуют частично поперечные поля ТЕ и

r=a ТМ типа, теория описания которых анало-

r гична теории круглого волновода с той не-

r=b большой разницей, что граничные условия

для П_е и П_h формулируются при r=a, r=b .

Рис. 2.15. Коаксиальный волновод.

Вместе c этим в коаксиальном волноводе возможен ещё один вид колебаний, а именно : ТЕМ поле. Что это такое ?

В первой главе мы выяснили , что нахождение того или иного поля сводится к решению двумерного волнового уравнения с граничными условиями, вытекающими из требования Е_z, E_s |_L = 0 . В частности, для ТМ- поля в многосвязном волноводе этому требованию можно удовлетворить при П_е|_L = сonst , если æ = 0 . ( Для односвязного волновода это требование приводит к П_е  0.) Поскольку у таких волн Е_z = H_z  0 , то они называются ТЕМ- волнами или ТЕМ- полем.

Рассмотрим ТЕМ- поле в коаксиальном волноводе.

П(r, ) = R(r)Ф()  d²Ф/d² = 0 , d²R/dr² + (1/r)dR/dr = 0 . (2.65)

R(r) = A₁ ln r + A₂ , Ф() = B₁  + B₂ (2.66)

Граничные условия ТЕМ- поля :

П|_r=a = C₁ , П|_r=b = C₂ , С₁  С₂ . (2.67)

Поскольку при повороте на 2 поле возвращается на своё место, то в физически реализуемом случае В₁ = 0 . Таким образом :

П(r, ) = A ln r + B . (2.68)

Из (2.67) и (2.68) следует, что А = (С₂ - С₁) ln(a/b) .

Компоненты Е и Н :

Е_r = (ikA/r)exp(ikz) , H_ = - (iA/r)exp(ikz) ,

H_ = E_z = E_ = H_r = 0 (2.69)

Вещественные части компонент :

Re(E_r) = - (kA/r)sin(kz - t) , Re(H_) = (A/r) sin(kz - t) . (2.70)

Структура поля :

Структура силовых линий

ТЕМ Е и Н в ТЕМ поле такая

S_k же, как в случае электро-

магнитостатики.

Рис. 2.16.

Специфика силовых линий ТЕМ поля состоит в том, что при æ = 0 волновое уравнение для вектора П переходит в уравнение ²П = 0 , описывающее электромагнитостатику (²П = 0  ²Ф = 0).

Выражения (2.71) позволяют ввести в коаксиальном волноводе понятия

2

тока : J ==r,)d = 2A sin(kz - t) , (2.71)

0

a

напряжения : U = -r,)dr = kAln(a/b)sin(kz - t) и (2.72)

b

сопротивления : Z_л = U/J = (1/2)(/)^1/2ln(a/b) . (2.73)

В заключение отметим, что поскольку для ТЕМ волн h=k , то для них

_ф = _гр = /k = (₁₁)^-1/2 и они распространяются со скоростью света при любых частотах (_кр = ), не обладая дисперсией, т.е. _ф,_гр  _ф(),_гр().

Это обстоятельство используется в технике СВЧ и при   _крH11 = (a+b) в волноводе распространяются только ТЕМ волны.

Полосковые волноводы.

В последние годы в технике СВЧ широкое распространение получили полосковые волноводы, или так называемые полосковые линии.

Полосковые волноводы более широкополосны, дешевле, проще в изготовлении, имеют меньший вес и габариты, чем прямоугольные, круглые и коаксиальные волноводы. Малый вес и небольшие габариты позволяют их использование в летательных аппаратах, где это требование имеет решающее значение.

Различают два типа полосковых волноводов : несимметричные (открытые) и симметричные (закрытые). Их примеры даны ниже.

1. Несимметричные.

а) Волновод с диэлектрическим заполнением .

б

Основная токонесущая пластина

h Диэлектрик

Заземленная пластина

б) Волновод без заполнения :

Основная токонесущая пластина

Заземленная пластина

2. Симметричные.

а) Симметричный, с диэлектрическим заполнением.

Заземлённая пластина

Диэлектрик

Основная токонесущая пластина

Диэлектрик

Заземлённая пластина

б) Симметричный, с двусторонним покрытием диэлектрика

токопроводящей полосой.

Заземлённая пластина

Токонесущая пластина

Диэлектрик

Токонесущая пластина

Заземлённая пластина

в) Симметричный, с односторонним покрытием диэлектрика

токопроводящей полосой.

г) Симметричный, с воздушным заполнением.

Заземлённая пластина

Токонесущая пластина

Заземлённая пластина

д) Симметричный, с воздушным заполнением для передачи

больших мощностей.

Заземлённая пластина

Токонесущая пластина

Диэлектрик

Заземлённая пластина

Рис. 2.17.

По многим конструктивным и технологическим соображениям на практике предпочитают несимметричные полосковые волноводы. Чтобы обеспечить высокие электрические и механические характеристики, в качестве материалов для подложки часто используют твёрдые диэлектрики на основе оксида алюминия - поликор (=9,6) и лейкосапфир (=11,4). Высокая диэлектрическая проницаемость этих материалов позволяет существенно уменьшить поперечные габариты волноводов. В технической литературе несимметричные полосковые волноводы для сантиметрового и миллиметрового диапазонов часто называют микрополосковыми волноводами.

Строгая теория полосковых волноводов громоздка и в рамках нашего курса не излагается. На практике расчет полосковых волноводов в основном производится численными методами. Это связано с тем, что в отличие от коаксиальных волноводов здесь параметры заполняющей среды неоднородны по сечению. Как следствие, векторы электромагнитного поля в полосковых волноводах имеют все шесть декартовых проекций, и поэтому, строго говоря, ТЕМ- волны здесь не существуют. Однако на практике обычно применяют волноводы, у которых толщина диэлектрической подложки (h) намного меньше ширины токонесущей пластины (б) (показано на рисунке 2.17а). Поэтому электрическое поле в поперечном сечении волновода распределено примерно так же, как и электрическое поле в плоском конденсаторе. Поскольку высокое значение относительной диэлектрической проницаемости подложки снижает роль краевых эффектов, то при  >> 1 поле во внутренней области оказывается приблизительно однородным. Таким образом, при h/b << 1 и  >> 1 можно пренебречь продольными составляющими векторов Е и Н, а также краевыми эффектами на токонесущей полоске и считать низший тип волны в таком волноводе (с критической частотой, равной нулю) квази-ТЕМ- полем или квази-Тволной. На этом рассуждении основана элементарная теория полосковых волноводов, или метод ТЕМ поля.

Суть метода ТЕМ поля сводится к отысканию в полосковых волноводах полностью поперечных волн, для которых :

æ =0 , h = k = ()^1/2 , _ф = _гр = 1/()^1/2, _кр = 

Для поперечного сечения волновода в этом случае выполняются уравнения :

²П/х² + ²П/y² = 0 , ²Ф/х² + ²Ф/y² = 0 ,

описывающие электромагнитостатику. (Линии электрического и магнитного поля в любом поперечном сечении волновода и в любой момент времени располагаются так же как в статике.) Это позволяет использовать опыт решения задач электростатики для нахождения Ф(х,y) в поперечном сечении выбранного полоскового волновода. Далее по распределению Ф(х,y) определяются Е = - grad Ф , и все остальные параметры волновода. В качестве примера определим некоторые характеристики уже рассмотренного несимметричного полоскового волновода.

Считаем электромагнитное поле внутри волновода плоским (ТЕМ). Краевыми эффектами пренебрегаем. Тогда по формуле плоского конденсатора определяем напряжение (U) между токонесущей пластиной и заземленным основанием : U = E h .

Поскольку в плоской волне (общий курс электродинамики) напряженность магнитного поля связана с напряженностью электрического поля соотношением Е=(₀/₀)^1/2Н, то для тока полоски имеем : I= H b = E b / (₀/₀)^1/2. Следовательно волновое сопротивление полоскового волновода определится выражением

Z_в = U/I = (₀/₀)^1/2h/b  120(/)^1/2 h/b . (2.74)

Следует отметить, что формула (2.74) пригодна лишь для приблизительных (с точностью до 20% ) оценок, что в ряде случаев недопустимо. Более точные результаты дает формула

Z_в = 188,5^-1/2{b/2h + 0,441 + 0,082 (-1)/ ² + [1,451 + ln(b/2h + 0,94)](+1)/2}^-1, (2.75)

справедливая при h/b << 1,  >> 1,  = 1.

Строгий анализ также показывает, что фазовая скорость квази-Т-волны зависит от частоты, причем дисперсия тем резче, чем выше значение  . Все это приходится учитывать при автоматизированном проектировании широкополосных СВЧ-устройств, когда точность вычислений должна быть достаточной для того, чтобы изготавливаемые изделия не требовали трудоемкой доводки и настройки.