1.5. Теорема Умова - Пойтинга
Теорема Умова-Пойтинга отражает баланс энергии гармонических колебаний электромагнитного поля и поясняет физический смысл комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей среды. Её вывод основан на преобразовании уравнений Максвелла. Именно : запишем эти уравнения для комплексно-сопряженных значений E и H :
rot E* = i1*H* , rot H* = - i1*E* + J*е . (1.26)
Из уравнений ( 1.26) и уравнений ( 1.21 ) :
rot E = i1H , rot H = - i1E + Je ,
соответствующим скалярным умножением на Е и H* получим :
( H*, rot E ) = i1( H*, H )
( E , rot H*) = - i1*( E , E*) + ( E , J*e)
Вычитая из верхнего соотношения нижнее и пользуясь соотношением
( B , rotA ) - ( А , rotB ) = div[ A , B ],
получим :
div
[ E,H*
] = i1*|E|
+ i1|H|
- (E , J*e
)
(1.27)
Умножив (1.27) на (- ½ ) и представив 1 и 1 в комплексной форме получим:
-div{(1/2)[E,H*]} = (/2){ // |E|2+ // |H|2} - i (/2){ / |E|2+ / |H|2} + (1/2)(E,J*e ) (1.28)
Величина Sк = (1/2)[E,H*] называется комплексным вектором Пойтинга. (1.29)
Реальная часть этой величины определяет среднее за период значение плотности энергии электромагнитного поля в пространстве. ( Усреднённое за период значение произведения действительных частей двух комплексных величин равно половине действительной части произведения одной комплексной величины на комплексно-сопряженную другую.) Реальную часть комплексного вектора Пойтинга называют также плотностью
активной энергии электромагнитного поля. Её значение не зависит от времени и, согласно теории относительности, отвечает за направленный перенос энергии электромагнитного поля в пространстве.
Мнимая часть величины Sк определяет мгновенное значение плотности реактивной (колеблющейся) энергии электромагнитного поля в пространстве, меняющей направление своего распространения на противоположное каждый полупериод колебания.
Im Sк = 0,5Re{[E,H]exp-2it}.
Среднее за период значение этой величины равно нулю. (Аналогия известной из теории цепей реактивной мощности гармонического колебания.)
Проинтегрируем соотношение (1.28) по объёму V, ограниченному поверхностью S, и воспользуемся соотношением
divA)dv
=
A,n)ds
,
получим :
-{
Sк,n
)ds}
=
(/2)
//|E|
+
//|H|
)dv +
(1/2)Re
E
, J*е
)dv
-
-
i (/2)
/|E|
+
/|H|
)dv
+ i (1/2)Im
E
, J*е
)dv
. (1.30)
Соотношение (1.30) представляет собой интегральный баланс мощности, т.е. определяет энергию электромагнитного поля, втекающую в -, вытекающую из -, и поглощающуюся в объёме V за единицу времени.
Действительно : взяв реальную (а) и мнимую (б) части равенства (1.30 ) получим :
а)
- Re{
Sк,n)ds
}=
(/2)
//|E|
+
//|H|
)dv
+
(1/2)Re
E
, J*е
)dv,
где
: -
Re{
Sк,n)ds
} - средняя за период активная мощность
электромагнитного
поля, поступающая в объём V через поверхность S ;
(/2)
//|E|
+
//|H|
)dv
- средняя за период активная мощность
тепловых
потерь;
(1/2)Re
E
, J*e
)dV -
средняя за период активная мощность
электромагнитно-
го поля, расходуемая на поддержание токов в объеме V;
б)
Im{
Sк,n)ds
} = (/2)
/|E|
+
/|H|
)dv
- (1/2)Im
E
, J*е
)dv,
где
: Im{
Sк,n)ds
} -
мгновенная
реактивная мощность электромагнитного
поля,
входящая и выходящая из объёма V через поверхность S ;
(/2)
/|E|
+
/|H|
)dv
- мгновенная реактивная мощность
электромагнит-
ного поля находящегося в объёме V ;
(1/2)Im
E
, J*е
)dv
- мгновенная реактивная мощность
взаимодействия
электромагнитного поля с токами в объёме V .
В целом соотношение (1.30) представляет собой математическую запись закона сохранения и изменения энергии электромагнитного поля в среде.