1.2. Комплексная форма записи уравнений Максвелла для гармонических процессов

При исследовании электромагнитных явлений большое значение имеют электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному (гармоническому) закону. (Произвольная зависимость от времени может быть сведёна к гармонической посредством разложения в ряд или интеграл Фурье.) При исследовании таких полей в условиях линейных уравнений среды целесообразно ввести комплексные обозначения, суть которых состоит в том, что векторам E и H приводят в соответствие комплексные векторные амплитуды E(r), H(r) :

E(r,t) ~ E(r) exp(-it) , H(r,t) ~ H(r) exp(-it) , ( 1.6 )

имея при этом в виду, что

E(r,t) = Re{E(r) exp(-it)} , H(r,t) = Re{H(r) exp(-it)} , ( 1.7 )

где E (r) = E₁(r)e₁ + E₂(r)e₂ + E₃(r)e₃ , H (r) = H₁(r)e₁ + H₂(r)e₂ + H₃(r)e₃ ,

E_j(r) = E_mj(r)exp(-i_j(r)) , H_j(r) = H_mj(r)exp(-i_j(r)) , (1.8)

j = 1 , 2 , 3 - проекции векторов E(r) и H(r) на оси ортогональной системы координат с ортами e₁ , e₂ , e₃ . Модули векторов

| E | = (EE^*) = (E₁E^*₁ + E₂E^*₂ + E₃E^*₃)^1/2 , | H | = (HH^*) = (H₁H^*₁ + H₂H^*₂ + H₃H^*₃)^1/2 .

Аналогичным образом вводятся комплексные векторные амплитуды и для других величин, входящих в уравнения ( 1.1 - 1.4 ) и гармонически изменяющихся во времени.

Уравнения Максвелла в этом случае примут следующий вид :

rot E = iB (1.9)

rot H = - iD + J (1.10)

div D =  (1.11)

div B = 0 (1.12)

Формальная связь комплексных уравнений с первоначальными проста - оператор дифференцирования по времени / t нужно заменить оператором умножения -i . Символически :

/ t = -i . ( 1.13 )

Введение комплексных амплитуд поля позволяет ввести и комплексные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей сред. Действительно, пользуясь уравнениями (1.10) и (1.5) получаем :

rot H = -i_а E +  E = (-i_а + )E = -i(_а +i/)E = -i₁E , ( 1.14 )

где : ₁ = _а + i/ ( 1.15 )

В общем случае комплексную диэлектрическую проницаемость вещества записывают в виде :

₁ = ^ + i^ = | ₁ | exp(i) , ( 1.16 )

что позволяет одновременно учесть как поляризационные, так и проводящие свойства вещества. Значение действительной части комплексной диэлектрической проницаемости описывает интенсивность процесса поляризации, в то время как мнимая часть учитывает плотность токов проводимости.

По аналогии с комплексной диэлектрической проницаемостью вводится и комплексная магнитная проницаемость, связывающая комплексные амплитуды векторов магнитного поля :

₁ = ^ + i^ = |₁| exp(i) . ( 1.17 )

Углы  и  характеризуют соответственно отставание по фазе D от Е и B от H. В литературе их называют углами электрических () и магнитных () потерь. (Смысл этого будет пояснён ниже.)

Таким образом, уравнения электромагнитного поля для гармонических процессов запишутся в следующем виде :

rot E = i₁ H (1.18)

rot H = - i₁ E . (1.19)