10.Интеграл Фурье и его комплексная форма

Пусть ф-ияf определена на Rи абсолютно интегрируема: (1) предположим, чтоfрасложена в ряд Фурье на интервале:f(x)=(2).;(3) подставив (3)в (2) аналогично как в интеграле Дирихле получаем:f(x)=введем обозначения:,,…,(5)

f(x)=+((t-x)dt)(6)

поскольку ф-ияf- абсолютно интегр., то первое слогаемое (6).,=0, второе слагаемое: выражение, стоящее под знаком суммы, является ф-ией аргументаи принимает значения отдопоэтому данную сумму, мы можем рассматривать как интегральную сумму Дарбу, которая впревращается в интеграл.Т.о. виз (6)получаем=(7). Определение: выражение, стоящее в правой части (7), наз. Интегралом Фурье ф-ииf. РАВЕНСТВО (7) справедливо в точках непрерывной ф-ииf/ используя в точках разрыва 1-го рода правая часть равенства (7)сходится к регулирующему значению. =,7a

формулу (7) применяем: =(8) рассмотрим частные случаи равенства (8)

=0; f(x)=(9)

В случае нечетности получаем: f(x)=(10) еслиfопределена на луче (0, в первом случае говоря о четности прод. Ф-ииfна луч (четном продолжении. Введем обозначения: а(=b(=

f(x)=(11)

F((12), f(x)=(13

Опр2: правую часть равенства (12). Наз. Косинус-преобразованием Фурье ф-ииfи обозначим , правую часть равенства (13) наз. Обратным косинус-преобразованием Фурье ф-ииf=-косинус-преобразование Фурье позволяет нам изв. Ф-ииfстроить новую ф-июF, которую наз. Образ. Ф-ии f косинус-преобразованием F.

11. Методы приближённого суммирования рядов Фурье.

Пусть f – приближ-я ф-ция.; - послед-ть частных сумм ряда Фурье ф-цииf.

Опр1. Среднее арифметическое частных сумм Фурье ф-цииf наз суммой Фейера и обобщены

- (1)

- (2)

-(3)

Подставим (2) в (1), тогда для сумм Фейера получим:

- (4)

- (5)

Опр2. Ф-ция в (5) наз ядром Фейера.

Св-ва ядра Фейера:

1. Ядро Фейера есть четная, период-я, непрерывная ф-ция.

2.

3. принимает неотриц-е значения

4.

Т1. (т-ма Фейера): послед-ть сумм Фейера период-й, непрерывной ф-ции равномерно сходится к самой ф-ции.

12. Понятие обобщённой функции

Опр1. Послед-ть fn(x) непрерывных на интервале (AB) ф-ций наз фундаментальной на этом интервале, если сущ-т такое число k≥0 и др послед-ть непрерывной на (AB) ф-ции {Fn(x)} такие, что выполняются условия:

1.

2. {Fn(x)} равномерно сх-ся на любом торезке с(AB)

Т1. Если послед-ть непрер-х на (AB) ф-ций {fn(x)} равномерно сх-ся на любом отрезке с(AB), то она фундаментальна.

Т2. Если {fn(x)} есть фундаментальная послед-ть ф-ций m раз непрерывно дифф-й, то послед-ть из m произвольных также фундаментальная.

Т3. Если послед-ть непрерывна на (AB) ф-ций равномерно ограничена на (AB) и равномерно с-ся на любом отрезке с(AB), то такая послед-ть фундаментальна.

Опр2. Две фунд-е послед-ти {fn(x)} и {gn(x)} наз эквивалентными и обозначаются: {fn(x)}~ {gn(x)}, если сущ-т такое число k≥0 и послед-ти {fn(x)} и {gn(x)} такие, что:

1. ,

2. с(AB) послед-ть {Fn(x)-Gn(x)} равномерно сх-ся к 0

Опр3. В каждом классе эквивал-х функциональных послед-й опред-т обобщ-ю ф-цию f, представителем которой явл любая из послед-тей этого класса. f(x){fn(x)}

на множ-ве обобщ-х ф-ций вводятся арифмет-е операции аналог-е операциям на послед-ти.

Опр4. лин комбинацией ,, двух обобщ-х ф-цийf,g опред-х фунд-х послед-ми {fn} и {gn} наз обобщ ф-ция F опред-я фунд-ной послед-ю .