57.Объёмный потенциал

U=+const,=-E_x , =-E_y , =-E_z , k=1. - потенциал электростатического поля ,поэтому постоянную считаем равную 0, т.о. точечный заряд величиныq расположенный в точке а создаёт потенциал: U(M)==- (1) В случае же непрерывного распределения заряда по некот. объёмус плотностью распр. зарядов. Точное значение потенциала:U(M)=- (2);r=MN, N. Правая часть равенства (2) наз. Объёмным потенциалом или потенц. Объёма. (2)является непрерывной и имеет частные произв. любого порядка ===0, т.е. функцияU удовлетворяет уравнению Лапласа. Функция U является гармонической вне обл. . Свойство 1: Если плотностьограничена и интегрируема в области, то потенциалU и его частные производные 1-го порядка везде непрерывны и могут быть получены диф. Под знаком интеграла. Свойство 2: Если плотность непрерывна в обл.и имеет непрерыв. производ. 1-го порядка на обл., то потенциал объёма (2) имеет непрер. производ. 2-го порядка наи удовлетворяет уравнению Пуассона:U=-f(M) имеет частные решения : U(M)=,r=MN.

58.Потенциал простого и удвоенного слоя.

U(M)=r=, NS – (1).Правая часть (1) наз. потенциалом простого слоя. Замкнутую поверхность S наз. поверхностью Ляпунова, если выполняется след. условия:1) В каждой точке поверхности S существует касательная плотность;2)сущ. положительное число d>0 одинаковое для всех точек поверхности S; 3)Если острый угол образующий нормали к поверхностиS в двух точках N₁ и N₂ и r₁₂ – расстояние между этими двумя точками, то сущ. 2 таких положительных числа r и не зависящих от выбора:(). Условие 1 в опред. Даёт возможность в любой точкеN₀ поверхности Ляпунова S построить местную декартовую систему координат Оxyz. Усл. 2 показывает, что в построенной местной системе координат уравн. части поверхности Ляпунова S, расположенное внутри указанной сферы, может быть записано в виде разрешён. относительно одной системы корд. Условие 3 гарантирует, что частная производная ,сущ. которой гарантирует условие 1, являются непрерывными функциями аргументов. Потенциал двойного слоя:

Предел потенциала равен: U(M)==p*=p=

= -cos(A,M,l) – (2). Предел располож. зарядов будем называть диполем. Постоянную величину p-моментом диполя,l-ось диполя.

U(M)=dS – (3).=Интегрирал, стоящий в правой части (3)-потенциал двойного слоя. Будем считать=, тогда потенциал двойного слоя:U(M)=-()dS= .

59.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Для решения внутрен. Задачи Дирихле применим потенциал двойного слоя, т.е. U|_S = f₁()PS – (1), U(M)=dS– (2)

При таком выборе U является гармонической функцией 2(N₀) + *(N₀)dS=f₁(N₀) – (3). 2(N₀) -(N)dS= - f₁(N₀)-(4). Объединим записи (3)и(4). С этой целью введём параметр и ядро:(N₀,N)= - *(N)dS –(5). Тогда: (N₀)-(N₀,N)* (N)dS=f(N₀) -(6). При этом для внутрен. Задач Дирихле =1;f(N₀)= f₁(N₀). Для внешней задачи Дирихле = -1;f(N₀)= -f(N₀).

Рассмотрим задачу Неймана. |_S=f₂(N) – (7). В ней необходимо найти граничную функцию в той или иной области удовл. (7). Решение необходимо искать в виде потенциала простого слоя: U(M)= dS – (8). Аналогично как и в случае з. Дирихле можно показать, что эта плотность удовлетворяет интегральному уравнению Фридгольма: (N₀) - (N₀,N)dS=g(N₀); ǽ*( N₀,N)= -. При этом для внутренней задаче Неймана в интегральном уравнении (9) необходимо положить=-1,g(N₀)=f₂(N₀), а для внешней задачи: =1,g(N₀)= -f₂(N₀).