53. Внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона. Единственность и устойчивость решения. Наружные краевые задачи для уравнения Лапласа.

Внутренние краевые задачи:

Пусть S замкнутая поверхность ограничивающая конечную область Ω и пусть на S заданы непрерывные ф-цииf₁,f₂,f₃. Ф-ция удовлетворяющая ур-ниюПуасона:

И=f(M), , непрерывнуюназамыканииΩ:=f₂(p), pS, +a(P)u)_s=f₃(P)S , a(P)≻0

PES.

Единственность и устойчивость решения.

Единственность и устойчивость решения краевых задач вытекает, из теоремы об непрерывной зависимости решения от краевых условий. Например такая теорема в случае задачи Дирихле для ур-ния Лапласа .

Решение задачи Дирихле. ⃒f₁ (p)-f₁^∼(p)⃒≺,pS

⃒u(M)-u^∼(M)⃒≺,MΩ. Д-во:

⃒u(M)-u^∼(M)⃒≤ мах_Ω ⃒u(M)-u^∼(M)⃒≤

⃒мах_su(M)-u^∼(M)⃒= мах_s⃒f₁(P)-f₁^∼(P)⃒≺

Внешняя краевая задача.

1. Задача Дирихле: И_s=f₁(P), pS

2. Задача Неймана: ⃒_s=f₂(P), pS

3. З-ча Дирихле-Неймана: +а(P))_s= f₃(P), pS

54. Метод Фурье на круговых областях для уравнения эллиптического типа.

Пример:Задачи Дирихле на круге радиуса R. В полярных координатах такая задача ставится следующим образом: Найти ф-цию И зависящую от R,f, такую которая удовлетворяет ур-нию Лапласа:

,

И на границе круга, принимает заданные значения: И=f(). Нетривиальное решение будем искать в виде: И()=И()*F().

После того как подставим в ур-ние и разделим переменные получим: ²И’’+И’-ƛИ=0

F’’+ƛF=0, F(0)=F(2π).Получим задачу Штурма-Леувиля с периодическими условиями. Которая имеет спектр:

F_n()=A_ncosn+B_nsinn, ƛ_n=n², ₀, при найденном спектре ур-ние принимает вид:

² И_n’’+И_n’-n²И_n=0

Представим собой разложение ф-цииf в тригонометрический ряд Фурье: И()=А₀+

F)=А₀+

И его коэффициенты вычисляются по формулам.

А₀=A_n=,

55. Метод Фурье на прямоугольных областях для уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим следующую з-чу Дирихле:

И(а, y)=c,

И(x,c)=a,

Данная задача возникает при делении формы прямоугольной мембраны закрепленной по краю, где граничное условие определяет вид крепления мембраны.

u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),

v(a,y)=0, V(k,y)=0, c≤y≤d :

v(x,c)=a,

w(x,c)=0, w(x,d)=0, w≤x≤b

v(x,y)= X(x)*Y(y);

Y’’/Y=-X’’/X=ƛ=conct

Y(y)-ƛ Y(y)=0, X(x)+ƛX(x)=0.

Получаем граничное условие на ф-цию: X(a)=X(b)=0

Следовательно в качестве дифф. Системе ур-ний.

ch; sh;

V_n(x,y)=ch+sh)*sh

Подставив получим:

F₁(x)=ch+sh)* sin;

F₂(x)=ch+sh)* sin;

Представляет собой разложение ф-цийf₁bf₂в тригонометрический ряд Фурье по синусам на отрезке (а,b)коэффициенты Фурье этого разложения находится по формулам:

A_nch+sh=sindx

A_nch+sh=sindx

В итоге при каждом фиксированном nполучим систему двух ур-ний с двумя неизвестными.

56.Метод Фурье на цилиндрических областях для уравнения эллиптического типа.

Для решения гранич. задач цилиндрической области методом Фурье рассмотрим задачу в цилиндрических координатах где ур. Лапласа примёт вид: - (1)

U()=U()Ф()Z(z) – (2).Представим (2)в(1) и разделим перем. :

+- (3).Z(z)=exp(mz), Z(z)=exp(-mz) – (4).

Фⁿ/Ф=-n² Знак «-» выбираем в связи с тем, что Ф должна быть периодической с периодом 2, тогда фунд. системой решения будет

Ф()=cos;Ф()=sin()–(5).+ +(m²-)U=0 – (6)-уравнение Бесселя и его фунд. система решений имеет вид: U()=J_n()U()=Y_n(). В итоге согласно (3)U_nm()=(A_nJ_n()+B_nY_n())* *(C_1ncos +C_2nsin)*(C_3mexp(mz)+C_4mexp(-mz))–(7). Будем искать решение урав. (1) в области не содержащей нач. координат, чтобы (7) было ограничено при =0, необходимо потреб.B_n=0: U_nm()=J_n(m)exp(-mz)(A_nmcosn+B_nmsinn) nN₀ , mN; exp(mz), поэтому потреб.C_3m=0. Учитывая однородность (1): U()=J_n(m)exp(-mz)*(A_nmcosn+B_nmsinn), ) nN₀, mN – общее решение неограниченной области.