47. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой.

П1. Подстановка и решение задач Коши. Рассмотрим след. Задачу Коши найти ф-циюИ(t,x)G=(0;+∞)*Rудовлетворяет ур-нению теплопроводности: dU/dt=а²*d²U/dx² (1.),И(0,х)=f(x), Vx€R(2.

докажем единственность решения задачи Коши (1.2) при условии что решение У ограничено в области G. Ф-ция будет удовлетворять ур-нию (1) и однородному нач. условию: И(t,x)=0. Область Gявл. Не ограниченнойG₁=[0;T]*[-L;L] L,T- некоторые фиксированные числа. G₁-ограниченна. Рассмотрим вспомогательному ф-цию:

V(t,x)=ИМ/L²(x²/2+a²t),v-явл. решением ур-ния теплопроводности. V(0;x)=ИМх²/2L²≥0=и^͠(0.х), V(t,±L)=LM/L²(L²/2+a²t)=4M/L²*L²/2+4Ma²t/L²≥2M≥И^͠(t:L)поскольку , G ограничено то можем преминить теорему о мах и мин ф-циямv+и^͠, v-и^͠ тогда получаем:V(t,x)€ и^͠(t,x)≤v(t,x)=иМ/R²(x²/2+at)

П.2 решение задачи Коши для теплопроводности.

Ŧ[∂и/∂t]=a² Ŧ[∂²и/∂х²], Ŧ[и(0.х)]= Ŧ[f], И= Ŧ[и], F= Ŧ[f]решение задачи (1,2):

и(t,x)= ^{(x-ᶘ)2/4a2t}dᶘ

F(t,x)=*^{(x-ᶘ)2/4a2t} –фундаментальное решение теплопроводности.

48. Уравнение теплопроводности на полу бесконечной прямой.

Решение задачи диффузии на полу прямой , метод синус преобразования Фурье. Рассмотрим смешенную задачу:

dU/dt=а²*d²U/dx² (1.), И(t;0)=А₁(2.), И(0;х)=0 (3.)

Внутри постоянное вещество отсутствует. Сверху постоянная равна А.

Для решения данной задачи воспользуемся синус преобразования Фурье, при этом считаем, что И: И=Ŧ[и], учитывая св-ва синус преобразования производных результатом интеграл преобразования ур-ния (1) будет обыкновенное интегральное ур-ние: И^ˡ=а²(-w²И+2Аw/π) (4.), И(0)=0 (5.)

Изменение нач.данным (3.), будут нач . данные И₀=0 .

В итоге получим задачу Коши для обыкновенного дифф. ур-ния 1-ого порядка. Решим задачу методам мат. вариаций получим: И (t)=2А/πw(1-ℓ^-w2а2t).

Чтобы получить решение исходной задачи тоесть восстановить ф-цию И достаточно И применяется обратное синус преобразования Фурье. В результате получим:

И(t,x)=Γ²[и]=А erfc(x/2a)

erfc(x)= ∫ℓ^t2dt

49. Теплопроводность в полу бесконечном пространстве.

Рассмотрим интеграл. Преобразование Лапласа на примере температуры поля жидкости расположенной в результате с теплоизолированной боковой поверхностью с постоянной температурой И₀ и нулевой температуре начальной среды: dU/dt=а²*d²U/dx² (6.) , И_х(t.0)-И(t,0)=0 (7.) И(0,х)=И₀ (8.) Для решения данной задачи используем интеграл преобразование по переменной р. После преобразования Лапласа по аргументуt, гдеИ Лаплас образ.

Иˡˡ=S *И(х)-И₀ , Иˡ(0)=И(0), И=J[и], Иˡˡ=s И(х)-И₀(9.), Иˡ(0)=И(0)(10.)- в результате получили граничную задачу для обыкновенной дифф. ур-ния второго порядка с постоянным коэффициентом , а ур-ние (9.) имеет вид :

И(х)=С е^√s+C₂ е^-√sx+И/S (11.),

по свойству интеграл ф-цияИ должна быть ограничена на бесконечность необходимо положить С=0 , при данных С граничное условие (10.) принимает вид: -С₂(1+√s)=И/s↔C₂=-И/S(1+√s), И(х)=И₀((1/s-ℓ^-√sx)/s√s+1) (12.)- решение для граничной задачи.

Чтобы получить решения исходной задачи (6.)(7.)(8.) достаточно ф-ции И получим:

И(t,x)-J^-1[И]-J^-1И₀(1/s-ℓ^-√sx/s(√s+1))=

И₀-И₀(еrfc(x/2√t)+erfc(√t+x/2√t)ℓ^x+t)