Линия пересечения поверхностей

Линия пересечения поверхностей является линией, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся поверхностям. Для построения точек линии пересечения используем метод вспомогательных секущих плоскостей.

Пусть даны две пересекающиеся поверхности ₁ и ₂ (рис. 21)

1. Проводим вспомогательную секущую плоскость S, так, чтобы она пересекла обе данные поверхности.

2. Находим линии l и m пересечения плоскости S с поверхностями ₁ и ₂.

3. Определяем точки А и В взаимного пересечения линий m и l, лежащих в плоскости S.

Точки А и В одновременно принадлежат поверхности ₁ и ₂ и, следовательно, являются точками искомой линии пересечения двух поверхностей. Проведя ряд вспомогательных секущих плоскостей, получим ряд точек, аналогичных точкам А и В. Линия, последовательно соединяющая эти точки, будет искомой линией пересечения двух поверхностей. Методом секущих плоскостей решаются задачи 4 и 6.

Задача 4

Даны: многогранник и поверхность вращения.

Требуется с помощью вспомогательно-секущих плоскостей построить линию пересечения многогранной и кривой поверхностей, выделив ее видимые и невидимые участки (пример на рис. 22).

Таблица 4

№ варианта	рисунок	n граней	X	№ варианта	рисунок	n граней	X
1.	1	3	-	19.	4	4	15
2.	2	3	15	20.	1	3	15
3.	7	4	15	21.	5	4	15
4.	5	3	-	22.	3	6	-
5.	1	4	-	23.	7	3	-
6.	7	4	-	24.	8	4	-
7.	5	3	15	25.	6	3	-
8.	8	6	-	26.	1	4	15
9.	6	4	-	27.	5	6	-
10.	3	3	-	28..	1	6	15
11.	7	6	-	29	2	3	15
12.	4	3	15	30.	8	3	-
13.	8	4	15	31.	6	6	-
14.	4	4	-	32.	8	3	20
15.	2	6	-	33.	7	3	20
16.	1	6	-	34.	2	3	-
17.	2	4	-	35.	4	3	-
18.	3	4	-	36.	5	4	-

Указания к задаче 4

По таблице 4 определяется номер рисунка, на котором представлены две поверхности: одна – вращения, вторая – многогранник (табл. 4). Количество граней многогранника (n) также указано в таблице и дано смещение от центра одной из поверхностей (Х). Длину второй поверхности студент выбирает самостоятельно. Задачу решают в трех проекциях.

Намечают расположение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня) и с их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Плоскости следует выбирать так, чтобы линии ее пересечения с поверхностями проецировались в простейшие фигуры (окружности или прямые).

На примере решения задачи 4 (рис. 22) представлены конус и призма проецирующая, следовательно, на фронтальной проекции линия пересечения уже определена. Причем грань AC пересекает конус по эллипсу, грань CB – по параболе, а основание AB – по окружности. Вспомогательные плоскости в данном случае горизонтальные, они пересекают конус по окружностям, а призму – по прямоугольникам. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательно – секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.