Чертеж точки

Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций получатся как основания перпендикуляров, опущенных из данной точки на каждую из плоскостей проекций.

На рис.1 представлено наглядное изображение трех взаимно-перпендикулярных плоскостей. Линии пересечения этих плоскостей – x, y, z - сходятся в одной точке 0 (координатные оси и начало координат). Чтобы получить плоский чертеж, повернем плоскость П₁ вокруг оси Х до совмещения с плоскостью П₂, а плоскость П₃ -вокруг оси Z до совмещения с плоскостью П₂.

На рис. 2 представлен чертеж точки на три плоскости проекции. Точка А задана координатами: первая координата - Х (абсцисса), вторая - Y (ордината), третья - Z (аппликата).

Построив проекции двух точек и соединив их, получим чертеж отрезка прямой. Чертеж трех точек может рассматриваться как отсек плоскости (плоскость в пространстве безгранична – мы ее ограничиваем отсеком).

Отрезок прямой может занимать различное положение в пространстве относительно плоскостей проекций:

а) быть параллельным одной плоскости проекций, и в этом случае он проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину (фронталь, горизонталь, профильная прямая).

б) параллелен двум плоскостям проекций (натуральная величина) и перпендикулярен к третьей плоскости проекции (горизонтально-проецирующая прямая, фронтально-проецирующая прямая и профильно-проецирующая прямая);

в) не параллелен и не перпендикулярен ни одной из плоскостей проекций – называется прямой общего положения. Проекции этого отрезка на чертеже по величине меньше отрезка. Имея на чертеже две проекции отрезка, можно определить по ним натуральную величину и углы наклона к плоскостям проекций.

Теорема: гипотенуза прямоугольного треугольника является натуральной величиной прямой, один катет которого – проекция на эту плоскость проекций, а второй – разность расстояний концов отрезка от данной плоскости проекций. Угол между катетом – проекцией и гипотенузой является углом наклона прямой к данной плоскости проекции.

Как показано на рис. 3 АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВВ₀, у которого один катет АВ₀=А₁В₁ (т.е. проекция на плоскость П₁), а второй ВВ₀=Z_B - Z_A.

На рис. 4 определены натуральная величина и углы наклона к плоскостям проекций П₁ и П₂.

Для решения задачи 1 контрольной работы необходимо знать теорему о проекциях плоских углов, которая звучит так: любой по величине угол образованный пересекающимися или скрещивающимися прямыми, проецируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой параллельны обе его стороны (рис.5).

Прямой угол проецируется в натуральную величину и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

Пусть имеется прямой угол АВС (рис.6), в котором ВС║П₁, а сторона АВ не параллельна П₁. Докажем, что А₁В₁С₁=АВС=90. Продолжим сторону АВ до пересечения со своей проекцией А₁В₁ в точке М₁, через точку М₁ проведем прямую М₁К₁║В₁С₁, прямая М₁К₁ будет параллельна и ВС, угол ВМ₁К₁ является прямым. Согласно обратной теореме о трех перпендикулярах угол ВМ₁К₁ также прямой, следовательно, угол А₁В₁С₁ – прямой.

На рис.7 представлен чертеж, где Вс является горизонталью, из точки А восстановили перпендикуляр к ВС (угол А₁В₁С₁ – прямой).

При решении задачи 1 необходимо построить две проекции отсека плоскости АВС, провести в плоскости главные линии – горизонталь и фронталь, из точки D восстановить перпендикуляр к главным линиям, найти точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью АВС.

Чтобы определить точку встречи прямой с плоскостью необходимо заключить данную прямую в плоскость (проецирующую) и построить линию пересечения двух плоскостей.

Прямая DE пересекает плоскость АВС (рис. 8), DE заключается в плоскость Q, определяется линия пересечения плоскости Q и АВС  это MN. Рассматривая взаимное расположение прямых DE и MN определяем точку К, которая является точкой пересечения прямой DE и плоскости АВС (принадлежит прямой DE и плоскости АВС).

На рис.9 представлен чертеж этой же задачи. Плоскость Q является горизонтально-проецирующей, видимость прямой на фронтальной плоскости проекций определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 2. Положение точек на горизонтальной проекции  1DE, 2АВ, точка 1 расположена ближе точки 2, следовательно, отрезок прямой DK на фронтальной проекции будет видимым. Чтобы определить видимость относительно горизонтальной плоскости проекций, нужно выбрать две конкурирующие точки (N и 3), точка N выше точки 3 (т.е. координата точки N больше координаты точки 3), значит, В₁С₁ будет видимая, а К₁N₁  невидимая часть прямой.