2 Содержание занятий

Ниже в таблице 1 представлены темы практических занятий по дисциплине «Дискретная математика».

Таблица 1 - Темы практических занятий по дисциплине «Дискретная математика»

№ темы	№ занятия	Тема занятия	Объем, ч
1	1	Множества. Операции над множествами	2
2	2	Свойства операций над множествами	2
3	3, 4	Бинарные отношения. Способы задания бинарных отношений. Операции над бинарными отношениями	4
4	5	Свойства бинарных отношений	2
5	6, 7	Замыкания бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка	4
6	8	Соответствия и их свойства	2
7	9	Операции и их свойства	2
8	10	Гомоморфизмы	2
9	11	Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы	2
10	12	Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок	2
11	13-15	Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры	64
12	16-19	Комбинаторика	8
13	20	Контрольная работа	2
14	21,22	Орграфы и бинарные отношения. Связность. Компоненты связности	4
15	23-25	Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки	6

2.1 Практические занятия № 1 – 2. Множества. Операции над множествами. Свойства операций над множествами

2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Интуитивное определение множества: множество - это любая определенная совокупность объектов, которые называются элементами множества.

Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Приняты следующие обозначения. Если a - элемент множества А, то пишут: аА. В противном случае: аА или аА.

Интуитивный принцип объемности: два множества А и В равны, если они содержат одни и те же элементы: А=В.

Множество А всех элементов, обладающих свойством Н(x), обозначается А=.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком .

Множество А называется подмножеством множества В (), если любой элемент множества А является также и элементом множества В.

Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого, т.е. тогда и только тогда, когда.

На утверждении, сформулированном выше, основан метод доказательства равенства двух множеств. Для того, чтобы доказать, что множества А и В равны, необходимо доказать два факта:

1) , То есть;

2) , То есть.

Мощностью конечного множестваМназывается численность его элементов. Два конечных множестваАиВназываются равномощными, если.

Множество всех подмножеств данного множества Мназываетсябулеаном.

Для конечного множества Мсправедлив следующий факт:, где.

Объединением множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествАилиВ, т.е..

Пересечением множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множествуАи множествуВ, т.е..

Разностью множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествуА, но не принадлежат множествуВ, т.е..

Симметрическая разность А+В множеств А и В определяется равенством А+В=(А\В)(В\А).

Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются элементами некоторого множества U, то множество U называется универсальным для данного рассуждения или универсумом.

Дополнением множестваАназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству А, т.е..

Для более наглядного представления операций над множествами и их свойств применяют диаграммы Эйлера–Венна (рисунок 1). Каждое множество представляется множеством точек на плоскости.

\

Рисунок 1 – Диаграммы Эйлера–Венна

Свойства операций над множествами:

1) Коммутативность объединения	1`) Коммутативность пересечения
;	;
Ассоциативность объединения ;	2`) Ассоциативность пересечения;
3) Дистрибутивность объединения относительно пересечения ;	3`) Дистрибутивность пересечения относительно объединения ;
) Идемпотентность объединения ;	4`) Идемпотентность пересечения ;
5) Свойства нуля ;	;
6) Свойства единицы ;	;
7) Свойства дополнения ;	;
8) Первый закон де Моргана ;	8`) Второй закон де Моргана ;
9) Первый закон поглощения	9`) Второй закон поглощения ;
10) Инволютивность ;
11) Выражение для разности ;
12) Выражение для дополнения .

Приняты следующие обозначения для числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

R – множество действительных чисел;

Q – множество рациональных чисел;

С – множество комплексных чисел.