2.6.2 Примеры решения задач

Задача 1. Проверить выполнение аксиом группы для а) множества целых чисел; б) множества четных целых чисел; в) множества нечетных целых чисел относительно операции сложения.

Решение. Обозначим черезZ_2n– множество четных целых чисел, а черезZ_2n-1– множество нечетных целых чисел. Замкнутыми относительно сложения являются множествоZи множествоZ_2n. В самом деле, складывая два целых числа, получаем целое число; складывая два четных целых числа, получаем также четное целое число. Напротив, при сложении двух нечетных чисел не получается нечетное число, что указывает на то, что множествоZ_2n-1незамкнуто относительно операции сложения.

Проверим выполнение других аксиом группы. Сложение является ассоциативной операцией. Нейтральным элементом на множествах ZиZ_2nотносительно сложения является 0. Далее, для любого целого числа (четного целого числа) противоположное ему число также является целым (четным целым).

Таким образом, можно сделать вывод, что и–группы, ане удовлетворяет определению группы, равно как и определениям моноида и полугруппы.

При этом обе группы иявляются коммутативными (абелевыми), в силу коммутативности сложения.

Задача 2. Доказать, что множество четных целых чисел образует подгруппу аддитивной группы целых чисел.

Решение. Ранее доказано, что–группа. При этом. Тем самым, доказано, что–подгруппа группы.

Задача 3.Найти смежные классы группыпо подгруппе.

Решение. Для удобства записи обозначим. Левые смежные классы группыпо подгруппепредставлены ниже:

;

;

;

; ….

Очевидно, что левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми классами. Это является следствием коммутативности сложения. Следовательно, группа четных целых чисел является нормальным делителем аддитивной группы целых чисел.

Рассмотренный пример, кроме прочего, иллюстрирует ряд основных фактов, касающихся смежных классов:

а) одним из смежных классов является сама подгруппа Н (в данном случае это смежный класс Н + 0);

б) любые два смежных класса либо совпадают (например, Н + 0 и Н + 2), либо вовсе не пересекаются (например, Н + 0 и Н + 1);

в) множество смежных классов (например, левых) образует разбиение носителя группы; в данном случае .

3. Задачи для самостоятельного решения

1. Образует ли полугруппу относительно операции _˚множество рациональных чисел, если.

2. Доказать, что и–моноиды. Указать единичные элементы.

3. Определим на множестве Zоперацию «*» следующим образом:. Доказать, что–моноид. Найти все обратимые элементы.

4. Образует ли группу относительно операции «+» множество всех рациональных чисел с: а) четными знаменателями; б) нечетными знаменателями?

5. Доказать, что –коммутативная группа, если, а таблица Кэли операции «*» имеет вид:

*	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

6. Образует ли группу относительно операции «*» множество , если?

7. Образует ли аддитивную и мультипликативную группу множество матриц вида с рациональными коэффициентами?

8. Пусть в группе. Доказать, что–коммутативная группа.

9. Доказать, что любая группа третьего порядка является коммутативной.

10. Образуют ли бинарные отношения группу относительно операции: а) композиция? б) обратное отношение?

11. Доказать, что образует группу относительно операции «», если.

12. Доказать, что множество линейных функций вида , где,образует группу относительно операции «линейная замена переменной» (линейной заменой переменной называют преобразование, при котором в функциювместо независимой переменнойхподставляют линейное выражение, в результате чего получается функция вида).

13. Доказать, что множество линейных функций вида образует подгруппу в группе линейных функций.

14. Пусть М – множество квадратных матриц второго порядка с целыми коэффициентами и определителем, равным 1. Доказать, что –группа. Найти циклическую подгруппу, порожденную элементом.

15. Пусть Н – множество подстановок группы . Будет ли оно подгруппой, если:

16. Найти порядок подгруппы, порожденной подстановкой . Проверить выполнение условий теоремы о подгруппе.

17. Доказать, что а) –нормальный делитель группы; б)не является нормальным делителем.

18. Перечислить все подгруппы группы.

19. Найти все нормальные делители группы.

20. Доказать, что все циклические группы одного порядка изоморфны.