2.5.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть –множество всех целых чисел,- множество всех четных целых чисел. Изоморфны ли следующие алгебры:

а)ипри отображении;

б) ипри отображении;

в) <N, +> и <> при отображении Г:n2ⁿ?

2. Пусть алгебры и, гдеN₄={0, 1, 2, 3} заданы таблицами Кэли. Является ли отображение Г: 01, 12, 20, 33 гомоморфизмом и изоморфизмом?

*	0	1	2	3
0	3	3	1	2
1	2	2	3	1
2	2	2	0	1
3	1	0	1	0

	0	1	2	3
0	1	0	0	2
1	2	3	3	0
2	3	0	0	2
3	2	2	1	1

3. Пусть даны алгебры <N, +> и <N₃, *>, где * - сложение по модулю 3 (остаток от деления суммы на 3), аN₃={0, 1, 2}. Отображение Г:NN₃определено следующим образом: Г(n) равно остатку от деленияnна 3. Иначе говоря, еслиn=3a+b, гдеb<3, то Г(n)=b. Гомоморфны и изоморфны ли алгебры <N, +> и <N₃, *>?

4. Изоморфны ли модели и, где- булеан множестваU={a,b,c},B₃– множество всех двоичных векторов длины 3,–отношение нестрогого включения,–отношение нестрого порядка над векторами такое, что для двух двоичных векторовивыполняется условиетогда и только тогда, когда.

5. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств А={a,c}иB={b,c} изоморфизм между булевыми алгебрами множестви двоичных векторов длины 3.

6. Гомоморфны и изоморфны ли алгебры и <N₅, *>, гдеN₅={0, 1, 2, 3, 4}, *–умножение по модулю 5 (остаток от деления произведения на 5).

7. Доказать, что при изоморфизме обратный элемент переходит в обратный.

8. Доказать, что если –изоморфизм, то обратное соответствиетакже является изоморфизмом.

2.6 Практическое занятие № 1112. Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы. Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок

2.6.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Полугруппойназывается алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией.

Моноидомназывается полугруппа с нейтральным элементом.

Группойназывается моноид, в котором любой элемент имеет себе симметричный

Группа, в которой бинарная операция коммутативна, называется коммутативнойгруппой(абелевойгруппой).

Алгебра являетсяподгруппойгруппы, еслии Н замкнуто относительно операции *, т.е..

Теорема о подгруппе. Для того, чтобыявлялась подгруппой группынеобходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. ;

2. , гдеа^-1–элемент, симметричный элементуа.

k-той степеньюэлементаа в группе называется, где,.

Для общности полагают, что , гдее – нейтральный элемент в группе.

Отрицательная степень определяется следующим образом: , где- элемент, симметричный элементув группе.

Циклической группой, порожденной элементома, называется группа всех степеней этого элемента:, при этоманазываетсяобразующимэлементом группы.

Множество вида называетсяправым смежным классомгруппыпо подгруппе.

Множество вида называетсялевым смежным классомгруппыпо подгруппе.

Подгруппа называетсянормальным делителемгруппы, если.

Если Н- нормальный делитель группыG, то множество смежных классов группы по подгруппеназываетсяфакторгруппой.