введение в тфп

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 К 14

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Табарин, кандидат технических наук, доцент В.В. Проботюк

Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Новикова

Казаков Р. Х.

К14 Введение в теорию физических полей : учебное пособие / под ред. В. Ф. Новикова. — Тюмень : ТюмГНГУ, 2014. — 160 с.

ISBN 978-5-9961-0871-8

Учебное пособие содержит подробный содержательный анализ основных положений классической электродинамики, в том числе волновых процессов в линиях передачи. Теоретические положения иллюстрируются оценочными расчетами электромагнитных систем и решениями стандартных задач.

Учебное пособие соответствуют курсу « Теория физических полей» по направлению подготовки 200102.65 и 200100.62 - «Приборостроение».

Учебное издание

Казаков Рустям Хамзич

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

В авторской редакции

Дизайн обложки А. В. Клеменко

Подписано в печать 26.03.2014. Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. 10,0. Тираж 100 экз. Заказ № 623.

Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет». 625000, Тюмень, ул. Володарского, 38.

Типография библиотечно-издательского комплекса 625039, Тюмень, ул. Киевская, 52.

3

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс «Теории физических полей» является теоретической базой большинства специальных дисциплин по направлению подготовки 200102.65 и 200100.62 – «Приборостроение». Содержательное усвоение курса «Теория физических полей» предполагает неформальную и интенсивную работу студента над теоретическим материалом курса.

Данные методическое пособие содержат подробный содержательный анализ основных положений классической электродинамики, волновых процессов в электромагнитных системах, низкочастотных и высокочастотных линий передачи.

В целях успешного усвоения содержания физических процессов в электромагнитных системах, студенту необходимо знать основы теории электромагнетизма курса общей физики. Предполагается, что студент усвоил дифференциальное и интегральное исчисления, теорию рядов, теорию линейных дифференциальных уравнений, умеет оперировать с комплексными величинами. Электродинамика предполагает знание основ векторной алгебры и векторного анализа. Необходимые вопросы векторного исчисления параллельно изложены в основном тексте пособии, некоторые формулы и теоремы вынесены в приложение.

Для понимания волновых процессов в электромагнитных системах следует, в первую очередь, уяснить содержание и экспериментальные основания уравнений Максвелла. Так как «рабочим инструментом» электродинамики являются уравнения Максвелла в дифференциальной и комплексной формах, то этим вопросам в пособии уделено достаточно большое место и внимание. Рекомендуется эти темы изучать с карандашом в руках.

Студент должен знать: 1) физическое содержание волнового уравнения, описывающего распространение электромагнитных волн в свободном пространстве, в диэлектрике, в проводящих средах; 2) граничные условия для векторов электрического и магнитного полей; 3) физику электромагнитных характеристик сред ( например, электрические и магнитные проницаемости сред, волновые сопротивления сред, фазовую скорость волны и т.п.); 4) условие формирования стоячей волны (в приложении приводится пример описания стоячей волны в струне); 5) энергетические соотношения в электромагнитных системах. Должен уметь оценивать физические характеристики сред по экспериментальным данным.

Полезно повторить соответствующие разделы курса общей физики, например, по книгам: Савельев И. В. Курс общей физики [Текст]: учеб. пособие.

Кн.1., Кн.2., Кн.4 – М.: Наука, 2003.

В пособии векторные величины записаны прямым полужирным шрифтом − E, D, j; скалярные величины записаны курсивом − W, H, a, x; комплекс-

ные амплитуды обозначены с «крышкой» − H y ,E z ; комплексные мгновенные значения обозначены с индексом «к» − H(к), E(к), E(к).

4

1.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Законы электростатического и магнитостатического полей довольно подробно описаны в курсе общей физики. В первых двух главах кратко остановимся на содержании законов и уравнений, описывающих эти поля.

1.1.Объекты электростатики

Напомним объекты, которыми оперирует электростатика:

1)неподвижное точечное заряженное тело, обладающее электриче-

ским зарядом q и инертной массой m. Единицей заряда в системе СИ

служит кулон (Кл), 1Кл = 1 А 1с. Подчеркнем, точечный заряд – это модельный объект электромагнетизма;

2)электрическое поле, порождаемое заряженным телом. Основной характеристикой поля является вектор напряженности электрического поля E. Напряженность электрического поля определяется силой, действующей со стороны поля на единичный заряд: E = Fq . Из приве-

денной формулы следует, что единицей напряженности служит 1КлН , однако единицу напряженности обычно выражают через работу электрического поля при перемещении единичного заряда на единичное расстояние в поле (вольт/метр): 1 Вм .

Заряды подчиняются закону сохранения заряда: в замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов сохраняется. Вспомним, например, схе-

му распада свободного нейтрона:

n → p+ + e− + ~ .

ν

Приведенный распад иллюстрирует закон сохранения заряда. Действительно, нейтрон n электрически нейтральная частица, протон p+ положи-

тельно заряженная частица, электрон e− отрицательно заряженная частица,

~

антинейтрино ν электрически нейтральная частица. По модулю заряды протона и электрона равны. Кроме того, заряд инвариантен относительно выбора системы отсчета (следовательно, заряд не зависит от скорости движения заряженной частицы). Заряд системы до распада равен алгеб-

раической сумме заряда системы после распада ( в этом распаде − сумма равна нулю).

1.2.Закон Кулона. Напряженность электростатического поля и интегральная теорема Гаусса

Закон Кулона. Экспериментальные исследования Кулона и Кавендиша показали, что взаимодействие зарядов подчиняется закону обратного квадрата. Закон взаимодействия двух точечных зарядов ( закон Кулона) имеет вид:

Попутно напомним, в опытах Кулона сила взаимодействия двух заряженных тел измерялась с помощью «крутильных весов». Опыты Кавендиша – пример применения «нулевого» метода в выявлении закона взаимодействия. Можно показать, что если закон электростатической силы является законом обратного квадрата, то в объеме заряженного проводника заряды должны отсутствовать – заряды будут находиться только на поверхности проводника. Этот эффект – отсутствие зарядов в объеме заряженного проводника – и был выявлен Кавендишем. Тем самым Кавендиш, независимо от Кулона, также пришел к закону обратного квадрата (1.1) – к закону, носящий имя Кулона.

Взаимодействие зарядов осуществляется через электростатическое поле, создаваемое зарядами. Основной характеристикой поля является напряженность поля E. При помещении заряда q в поле E, на этот заряд со стороны поля действует сила

Выражение для E заряженных тел разной формы имеет каждый свой вид. В частности, из сравнения (1.1) и (1.2) следует, что формула для расчета напряженности поля точечного заряда, например заряда q1, имеет вид:

Cила, действующая на точечный заряд q2, определится выражением:

с помощью силовых линий. Вектор напряженности E направлен по касательной к своим силовым линиям, а изменение густоты силовых линий показывает относительное изменение модуля этих векторов (рис. 1). Способ отображения полей с помощью силовых линий будет использован при раскрытии содержания уравнений Максвелла.

Поток вектора через поверхность. Поток вектора через площадку зависит, естественно, от ориентации площадки относительно направления вектора. Если площадка перпендикулярна вектору, то поток максимален, если вектор направлен параллельно площадки, то вектор не пронизывает ее и поток вектора через такую площадку равен нулю. Для определения ориентации площадки вводится понятие вектора-площадки dS = ndS, где n – единичный безразмерный вектор, перпендикулярный элементарной площадке dS (рис. 2). Под элементарным потоком dФ вектора E через ориентированную элементарную площадку d S понимается скалярное произведение E на dS:

dФ = E dS ≡ E dS cos α,

где угол α – угол между векторами E и dS . Максимальный поток вектора E через площадку dS будет при α = 00; нулевой поток – при α = 900, в этом случае вектор E не пронизывает площадку dS.

dS

n

α E

dS

Рис. 2

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность зависит только от заряда внутри полости, охватываемой поверхностью (рис. 3):

где: q − алгебраическая сумма всех зарядов внутри полости; V – объем,

охватываемый поверхностью S; ρ =ρ (x, y, z) – плотность заряда в объеме V. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона как закона обратного квадрата ( вывод теоремы можно найти в учебниках курса общей физики).

Если заряды находятся вне замкнутой поверхности, то поток E через эту поверхность равен нулю. Если в объеме V имеются заряды, но их алгебраическая сумма равна нулю, то и поток из полости равен нулю:

EdS = 0. Таким образом, если даже поток вектора E через замкнутую

(S )

поверхность равен нулю, то это еще не означает, что в объеме замкнутой поверхности отсутствуют заряды.

S

q

Рис. 3

Рассмотрим теорему Гаусса при наличии диэлектрика в объеме замкнутой поверхности. Диэлектрики – вещества, в которых концентрация свободных зарядов, которые могут участвовать в электрическом токе, незначительна. В диэлектрике заряженные частицы (валентные электроны или ионы) связаны со своими молекулами. Эти заряды так и называются – связанные заряды. При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле диэлектрик поляризуется. Электрическое поле E в диэлектрике определяется суперпозицией внешнего поля E0 и макроскопического поля

поляризованных зарядов E/:

E = E0 + E/.

Поляризация диэлектрика. Явление поляризация на микроуровне заключается в ориентации дипольных моментов молекул p = q l в направлении внешнего электрического поля E0. В диэлектрике, состоящем из полярных молекул, их дипольные моменты ориентируются во внешнем поле и суммарный дипольный момент единицы объема становится не равным нулю. В неполярных молекулах собственный дипольный момент отсутствует. В диэлектриках из неполярных молекул дипольный момент p наводится внешним полем – положительные заряды молекулы смещаются в направлении внешнего поля, отрицательные против поля. Наведенный дипольный момент также ориентируется во внешнем поле. Таким образом, при помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле,

диэлектрик приобретает дипольный момент pi . Напомним также, что в объе-

i

ме однородного диэлектрика связанные (поляризованные) заряды компенсируют друг друга. Нескомпенсированными остаются только заряды на поверхности ди-

Из эксперимента следует, поляризованность во многих практически важных случаях пропорциональна напряженности электрического поля в диэлектрике:

P = χε0E.

где χ – диэлектрическая восприимчивость среды (χ > 0).

Выделим в диэлектрике объем V, охватываемый замкнутой поверхностью S. При поляризации диэлектрика дипольные моменты молекул поворачиваются

в направлении поля. На границе S из объема V наружу выдут части поляризованных молекул ( заряженные или положительным, или отрицательным заря-

дом), и выделенный объем V приобретает избыточный связанный заряд q/. Можно показать, что поток вектора поляризованности P через произволь-

ную замкнутую поверхность S равен избыточному связанному заряду q/ внутри поверхности, взятому с обратным знаком:

PdS = −q/ .

(S )

Из приведенных выражений следует, что поляризованность P измеряется в единицах поверхностной плотности заряда − Кл/м2.

Втеореме Гаусса (1.4) под зарядами q понимаются все заряды –

исвободные, и связанные (поляризованные) заряды: q = qсвоб. + q/. Имеем:

Введем вспомогательный вектор D = ε0E + P = (1 +χ)ε0E = εε0E. Вектор D на-

зывают вектором смещения, где ε = 1+χ − диэлектрическая проницаемость среды. Запишем теорему Гаусса для вектора смещения:

где ρсвоб. – плотность свободных зарядов.

Подчеркнем, вектор смещения D = εε0E зависит как от свободных зарядов qсвоб., так и связанных зарядов q/, что следует, например, из определения этого вектора D = ε0E + P. Однако свойство этого вектора таково, что его поток определяется только свободными зарядами qсвоб.. Во многих практически важных случаях вектор D определяется только свободными зарядами, именно в этих случаях вектор D полезен при расчетах

полей. Вектор D имеет ту же размерность, что и вектор поляризованности P, и измеряется в Кл/м2.

Заметим также, что часто , исходя из смысла уравнений, индекс «своб.» при заряде опускают.

Применение теоремы Гаусса к расчету поля.

В тех случаях, когда силовые линии напряженности электрического поля равномерно распределены по поверхности заряженного тела, теорема Гаусса позволяет непосредственно рассчитать напряженность поля. Напомним, что число таких задач весьма ограничено. К этим задачам относятся: задача определения поля заряженной сферы, поля заряженной плоскости ( конденсатора); поля заряженной нити ( цилиндра).

Из теоремы Гаусса следует, что в объеме заряженной сферы поле равно нулю. В объеме сферы заряды отсутствуют, следовательно, поток через мысленную замкнутую поверхность, проведенную внутри заряженной

сферы, также равен нулю EdS = 0, поэтому E(внутри)= 0.

(S / )

2.Поле заряженной плоскости (рис. 7).

Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной

3.Поле заряженной нити (рис. 9).

Пусть бесконечная нить заряжена с линейной плотностью заряда

и длиной l, осью которого является заряженная нить. Вследствие симметрии поля в радиальном направлении напряженность поля везде на боковой поверхности мысленного цилиндра одинакова по модулю. Вектор E не пронизывает торцевые поверхности цилиндра и везде перпендикулярен

боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности Sб = 2π r l .

1.3.Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Дивергенция электрического поля

Пусть в некоторой области пространства задана напряженность элек-

тростатического поля E(x,y,z). Требуется найти положение (координаты) и значение заряда q(x,y,z) в каждой точке пространства по заданному полю.

На первый взгляд представляется, что для решения задачи можно непосредственно использовать теорему Гаусса. Для этого просто следует стянуть замкнутую поверхность к рассматриваемой точке пространства