3. Сложение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с кратными частотами.
Пусть точка участвует в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях с кратными частотами:
x = ASin (mt m)
y = BSin (nt n) ,
где m и n целые числа.
Траектория такого движения замкнута, так как x и y возвращаются к первоначальным значениям через время, равное периоду
Y
Y Y
X X X
а) б) в)
Y Y Y
г) д) е)
Рис. 4
(
частота,
в Гц)
Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу.
Вид
фигур Лиссажу зависит от соотношения
между периодами (или частотами), фазами
и амплитудами обоих колебаний. В
простейшем случае равенства обоих
периодов фигуры Лиссажу представляют
собой эллипсы, которые, при разности
фаз 0 или
вырождаются в отрезки прямых, а при
разности фаз
и равенстве амплитуд превращаются в
окружность (рис. 4). Если периоды (или
частоты) обоих колебаний не точно
совпадают, то разность фаз все время
меняется, вследствие чего эллипс все
время деформируется. При существенно
различных периодах (или частотах) эллипс
деформируется быстро и картина размывается
фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако,
если оба периода (или частоты) различны,
но относятся как целые числа, то через
промежуток времени, равный наименьшему
кратному обоих периодов, движущаяся
точка снова возвращается в то же положение
получаются фигуры Лиссажу более
сложной формы.
Зная частоту колебания по оси X, по виду фигуры Лиссажу, можно найти частоту колебания по оси У и наоборот. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между частотами (или периодами) и фазами обоих колебаний.
Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искаженной формы.
Роль материальной точки могут выполнять электроны, совершающие колебания под действием взаимно-перпендикулярных электрических полей в электронно-лучевой трубке осциллографа.
Вид фигур Лиссажу найдем сначала графическим методом, а затем при помощи осциллографа.