Это колебания с амплитудой, изменяюшейся по закону

Амплитуда =

2. Сложение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с равными частотами.

Пусть материальная точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях ( вдоль оси Х и оси Y) с одинаковой частотой , выраженных уравнениями.:

, (2)

где x и y смещения точки вдоль осей X и Y от положения равновесия в данный момент времени; А и В амплитуды первого и второго колебаний; ₁ и ₂ начальные фазы колебаний (₁ = 0), циклическая частота. Начало отсчета выбрано так, чтобы начальная фаза первого колебаний равнялась нулю.

Для нахождения уравнения траектории движения точки нужно исключить параметр t . Для этого запишем уравнения (2) в виде:

(3)

(4)

Умножая уравнение (3) на Cos ₂, а (4) на ( Cos₁), и складывая их, получим:

или

(5)

Теперь умножим уравнение (3) на Sin ₂, а (4) на (Sin ₁) и сложим их;

(6)

или

(7)

Возведем в квадрат уравнения (5) и (7) и сложим их почленно. После преобразований получим уравнение траектории:

(8)

Это уравнение представляет уравнение эллипса, характеристики которого определяются значением разности фаз = . Следовательно, в результате сложения двух взаимно-перпендикулярных синхронных колебаний получается колебание, при котором точка движется по эллипсу (рис.3).

Y

2B X

2A

Рис. 3

Рассмотрим несколько частных случаев сложения колебаний:

1. Если разность фаз складываемых колебаний кратна четному числу , т.е. = 2n, где n = 0, 1, 2, ..., то складываемые колебания будут находиться в одинаковой фазе и уравнение траектории (8) в этом случае имеет вид:

, или ,

откуда

.

Это уравнение прямой, идущей по первому и третьему квадрантам. Материальная точка совершает колебания вдоль этой прямой (рис. 4а). Колебания, удовлетворяющие условию ₁₂=2n называются синфазными.

2. Если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу , т.е. ₁₂ = (2n + 1), где n = 0, 1, 2, ..., то складываемые колебания будут находиться в противофазе и уравнение (8) переходит в уравнение:

, откуда т.е. .

В этом случае точка колеблется по прямой, идущей по второму и четвертому квадрантам (рис.4б).

3. Если разность фаз складываемых колебаний равна:, то уравнение (8) превращается в уравнение

Эго уравнение эллипса, для которого координатные оси являются главными осями. Точка движется по эллипсу по ходу часовой стрелки (рис. 4в).

Если амплитуды колебаний одинаковы, эллипс вырождается в окружность. Получаем колебание, поляризованное по кругу (рис. 4г).

4. Разность фаз равна:

Тогда уравнение (8) примет вид:

Точка будет двигаться по эллипсу против хода часовой стрелки (рис. 4д). При равенстве амплитуд эллипс снова вырождается в окружность (рис. 4е), т.е. вновь получаются колебания, поляризованные по кругу.

При промежуточных значениях разности фаз точка тоже будет двигаться по эллипсу, ориентация которого будет изменяться в соответствии с изменением разности фаз.