1-5-2 ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение свободных затухающих колебания физического маятника. Определение момента инерции маятника и параметров колебаний: периода колебаний, логарифмического декремента затухания. Вычисление ускорения свободного падения.

Твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси О₁, не проходящей через его центр тяжести, называется физическим маятником. Таковым является однородный металлический стержень массой m и длиной L, подвешенный на оси О₁, удаленной от центра масс О на величину l (см. рис.1).

Из-за трения механическая энергия маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные движения относительно неподвижной оси О, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения:

, (1)

где   угол отклонения маятника;  = d²/dt²  угловое ускорение, I  момент инерции маятника относительно оси подвеса, М - результирующий момент всех сил, действующих на тело. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести, M_{в р}= mglsin и тормозящего момента, создаваемого силами трения:

M_тор= r, где r  коэффициент трения, ,=d/dt  угловая скорость. Знак "" в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. в сторону уменьшения угла. Знак "" в формуле для тормозящего момента связан с тем, что направление силы трения всегда противоположно направлению движения.

При малых углах отклонения (6-10⁰), допустимо считать sin   тогда M_вр=mgl и уравнение (1) можно представить в виде:

. (2)

Поделив все слагаемые на I и, введя обозначения:

, (3)

где   коэффициент затухания, а ₀  собственная циклическая частота незатухающих колебаний маятника, придем к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний:

. (4)

Решением этого уравнения является функция

. (5)

Множитель A= ₀е^·t представляет собой амплитуду затухающих колебаний в момент времени t; ₀  амплитуда в начальный момент времени. Выражение под знаком синуса  фаза колебаний в любой момент t, ₀  начальная фаза (t = 0), -циклическая частота затухающих колебаний. График функции (5) для ₀ = 0 представлен на рис.2.

Количественной характеристикой затухания служит логарифмический декремент затухания . Он определяется как логарифм отношения двух следующих через время равное периоду T амплитуд.

. (6)

При слабом затухании трудно определить уменьшение амплитуды за один период, поэтому для нахождения  удобно брать n периодов. В этом случае, время наблюдения, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в S раз, равняется nT. Тогда получим:

(7)

Из (7) с учетом (6) получим выражение для логарифмического декремента затухания в виде:

. (8)

Обычно принимают S=2. Тогда lnS = ln2 = 0,693. Решение уравнения (4) показывает, что частота собственных свободных затухающих колебаний  меньше, чем частота свободных не затухающих колебаний ₀ и определяется соотношением: .

При большом I и малом r согласно (3) может реализоваться неравенство  <<₀. Тогда влиянием затухания на частоту колебаний (период) невелико и им можно пренебречь. Из выражения (3) и соотношения ₀=2/T получим приближенную формулу для периода колебаний физического маятника:

. (9)

Отсюда следует, что

. (10)

Формула (10) широко используется для определения моментов инерции тел произвольной формы, теоретическое вычисление которых представляет значительные трудности.

Для физического маятника в виде однородного стержня момент инерции относительно оси подвеса вычисляется по теореме Штейнера:

I = I₀ + ml² (11)

где I₀  момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, l  расстояние от центра масс до оси вращения.

Если I и m известны, то измеряя период Т физического маятника можно по формуле (10) определять g. Такой подход используется на практике в некоторых типах гравиметров.

В данной работе для определения I₀ и r воспользуемся графическим методом. Для этого выразим момент инерции в формуле (10) с помощью уравнения (11), и, умножив правую и левую часть на 4²/mg, получим:

T²l= 4²I₀/mg+ 4²l²/g (12)

Введем обозначения:

y = T²l, x = l²,

, (13)

что позволяет представить зависимость (12) в виде линейной функции y=b+Ах и по угловому коэффициенту А прямой определить величину g:

.

По отрезку b, отсекаемому продолжением прямой на оси ординат, можно определить I₀ из формулы (13), используя табличное значение g. При этом появляется возможность сравнения экспериментального значения I₀ с вычисленным по формуле I_теор = mL²/12, где m масса однородного стержня, L  его длина.

ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Закрепить стержень в муфте. Для этой цели на стержне сделаны кольцевые выемки, расстояние между которыми 5  10 см.

2. Отклонить стержень на угол не более 10 и измерить время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза. Одновременно сосчитать число полных колебаний n.

3. Определить период колебаний Т = t/n, и логарифмический декремент затухания =ln2/n.

1. Измерения по пунктам 1  3 провести для различных длин l, определяющих расстояние от оси вращения до центра масс. Результаты занести в таблицу.

1. Построить график зависимости y от x. Определить по нему угловой коэффициент А и свободный член b. Вычислить по найденным значениям А и b величины g и I₀.

1. Сравнить полученные значения g с g_табл. и I₀ c I_теор. Сделать вывод.

1. По результатам одного из опытов по формуле (6) найти коэффициент затухания  и оценить его влияние на величину периода. При расчетах использовать соотношение:

Таблица.

№ п/п	l, м	t, с	n	T, с		X = l2, м2	Y = T2l, с2·м	Масса стержня m = Длина стержня L =
1. 2. 3. 4. 5.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется физическим маятником? При каких условиях он совершает гармонические и затухающие колебания?

1. Получите дифференциальные уравнения затухающих и незатухающих колебаний физического маятника.

1. Как зависит амплитуда колебаний маятника от времени?

1. Запишите формулу для периода свободных незатухающих колебаний физического маятника.

1. Опишите поведение физического маятника: а) в состоянии невесомости; б) когда ось колебаний проходит через центр масс.

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси.

5