1-5-4 КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы: изучение основных закономерностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.

В природе и технике широко распространены колебательные системы, взаимодействующие между собой. К таким системам относятся ионы в кристаллической решетке, сложные молекулы, различные технические конструкции.

Простейшей системой с двумя степенями свободы в механике являются два маятника в виде стержня длиной l с грузами m (диск) на его концах.

М аятники связаны невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Пружина находится на расстоянии d от точек подвеса, расположенных на горизонтальной прямой (рис.1).

При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами углами ₁ и ₂ отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы.

Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения стержня с грузом вокруг неподвижной оси:

. (1)

Здесь   угол поворота, M  момент действующих на тело сил относительно оси подвеса,   угловое ускорение, I  момент инерции каждого маятника относительно оси подвеса.

На каждый маятник действует сила тяжести mg, приложенная к центру масс, и сила упругости f=-kx, k  коэффициент жесткости пружины. Величина деформации x при малых ₁ и ₂ и в соответствии с рис.1 найдется как длина дуги, опирающаяся на прямые d; x = d(₂  ₁), а сила f = kd(₂  ₁).

Соответствующие этим силам вращающие моменты сил для малых углов колебаний имеют вид :

M_тяж =  mglSin   mgl, (2)

M_упр1 = kd(₂  ₁)d = kd²(₂  ₁) =  M_упр2 .

Момент сил отрицателен, если он возвращает маятник в положение равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется:

(3)

Маятники могут длительное время колебаться сохраняя, например, положение, изображенное на рис.1. В этом случае f_упр=kd(₂₁) или так, как показано на рис.2 f_упр = kd(₂+₁).

П оэтому введем новые переменные

₁ + ₂ = ₁ и ₂  ₁ = ₂, (4)

характеризующие относительное движение маятников. Суммируем левые и правые части уравнений (3), поделим сумму на I и используем новые переменные. Это нам даст:

(5)

А если в (3) вычтем из второго уравнения первое, то получим :

(6)

Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонического колебания (см. Лаб. Раб. № 1-5-1) .

Собственные частоты колебаний равны:

; (7)

Момент инерции маятника складывается из момента инерции стержня массой m и длиной l₀(I_ст = m_стl₀²/3), момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние l от оси подвеса (I_д = m_дl²+ m_дR²/2, теорема Штейнера).

I = m_стl₀²/3 + m_дl² + m_дR²/2, (8)

Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид:

₁ = АCos(_o1t + ₁), ₂ = BCos(_o2t + ₂ (9)

где A и B амплитуды изменения ₁ и ₂ , а ₁ и ₂  начальные фазы соответственно.

Из (9) и (4) находим закон изменения угла  для каждого маятника:

₁ = 1/2(₁  ₂) = A/2Cos(_o1t + ₁)  B/2Cos(_o2t + ₂) (10)

₂ = 1/2(₁ + ₂)= A/2Cos(_o1t + ₁) + B/2Cos(_o2t + ₂)

Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами _o1 и _o2, определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот или мод, при этом, как видно из (7), _o2 > _o1. Если обратиться к уравнениям (7) ,то в первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника . Когда упругая связь не действует, т. е. ₂  ₁ = 0, маятники движутся синхронно в одном направлении параллельно друг другу (синфазно).

Во втором уравнении частота _o2 > _o1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе: навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2).

При любом другом движении осуществляются колебания с частотой _k, лежащей в диапазоне от _o1 до _o2. Если вклад сил упругости в изменение частоты невелик, т.е. 2kd²/I < mgl/I, то частоты _o1 и _o2 близки, и результат сложения колебаний представляется в виде биений. При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений:

_б = _o2  _o1 или _б = ₂  ₁, (11)

т.к.  = 2.

Если с помощью внешней периодической силы, частота которой будет возрастать от нуля, действовать на связанную колебательную систему, то при частотах вынуждающей силы , близких к ₁ и ₂ будет наблюдаться два резонанса, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f() будет иметь два максимума.

Описание установки

Общий вид прибора представлен на рис.3.

Основание 1 оснащено регулируемыми ножками для вертикальной установки прибора. В основании закреплена колонка 2, на которой укреплены втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6 с шариковыми подшипниками. К ним подвешены два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.

Маятник состоит из стержня 8 и перемещающегося груза 9. Маятники связаны друг с другом при помощи двух пружин 10, 11, закрепленных в С-образной скобе, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который перемещая стержень 7, связанный при помощи двух пружин 10, 11 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания.

Электродвигатель находится в блоке управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания маятников.