Лабораторная работа № 1-3

Измерение скорости звука методом стоячих волн Теоретическое Введение

Звуком называют упругие волны, характеризующиеся частотами от 15 до 16000 Гц, т.е. волны, которые способен воспринять человеческий слуховой аппарат.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ ЕСТЬ ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. Если какую-либо часть упругой среды вывести из равновесного положения, то между частями среды возникают силы упругости. Эти силы возвращают смещенную часть в равновесное положение и выводят из равновесия соседнюю часть среды. Такое распространение возмущений и представляет звуковую волну. Инертность (масса) частей среды препятствует мгновенному изменению скорости и пространственного положения частей упругой среды и является одной из причин обуславливающих конечность скорости звука.

Волны делят на поперечные и продольные, в зависимости от того, совершают ли частицы среды колебания перпендикулярно или вдоль направления распространения волны. Поперечные волны возникают в средах, характеризующихся упругостью на сдвиг (на изменение формы), то есть в твердых телах. Продольные — в средах обладающих упругостью на сжатие-растяжение (на изменение объема), т.е. в твердых, жидких и газообразных.

При нормальных условиях расстояния между молекулами газа (порядка 10^-7 м) гораздо меньше длины звуковой волны  (0,2 м <  < 20 м). Поэтому молекулярное строение газа (прерывистости вещества) можно не учитывать и считать среду (газ) сплошной.

Найдем связь скорости звука со свойствами упругой газообразной cреды. Для этого рассмотрим случай плоских звуковых волн. Они могут быть возбуждены колеблющимся поршнем, помещенным в конце трубы, содержащим газ.

Пусть смещение поршня вдоль трубы описывается гармоническим законом:

S₀ = S_a sin(t) (1)

здесь S_a-амплитуда смещения; -циклическая частота.

Волновой процесс заключается в перемещении по газу зон сжатия и разрежения вещества. В этом случае Sопределяет смещение тонкого слоя газа и зависит от координаты слоя в невозмущенном состоянии и от времениS(x,t) (рис.1).

S₀

S(x,t)

Рис.1

За время t волна дойдет до слоя газа с координатой x = v t, т.е. смещение этого слоя из равновесного положения запаздывает по времени на t по отношению смещению поршня. Положим, что нет перехода энергии волны в другие виды энергии, тогда

(2)

Здесь k = -волновое число.

Уравнение (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси x со скоростью V.

Волна называется плоской, т.к. в любом тонком слое газа, перпендикулярном оси x (в пределах трубы) все частицы колеблются с одинаковой амплитудой и в одной фазе. Смещение S периодично по времени (с периодом Т) и периодично по координате x (с пространственным периодом ).

Дифференцируя уравнение волны для смещения (2) по времени, получим уравнение для скорости колебательного движения - колебательной скорости

, (3)

где — амплитуда колебательной скорости.

Дифференцируя еще раз уравнение волны для смещения (2) по времени, получим уравнение для ускорения колебательного движения - колебательного ускорения.

(3а)

где - амплитуда колебательного ускорения.

Сравнив выражения (2), (3), (3а), заключим, что изменение V_k опережает изменение S по фазе на , в пространстве на, изменениеa_k происходит в противофазе c изменением S.

Рассмотрим (рис.2) два слоя газа, равновесные положения которых отстоят на dx друг от друга . Смещения этих слоев из их положения равновесия в некоторый момент времени соответственно равныS и (S – dS). Площадь сечения трубы A₀.

Объем газа между слоями и равновесном состоянии dW = A₀dx. Относительное изменение объема газа

(4)

Рис.2

В нашем случае , т.е. объем газа уменьшается (сжатие). Приобъем газа увеличивается (разрежение).

Таким образом относительное изменение объема:

(5)

Дифференцируя (2) второй раз по x, получим:

(6)

Сравнив с (3а) имеем:

(7)

При решении уравнений, состоящих из вторых частных производных по координатам и по времени от некоторого параметра, всегда получаются уравнения волн. Поэтому уравнения вида (7) называют волновыми.

Уравнение (7) решается двойным интегрированием по х и t. При соответствующих начальных и граничных условиях можно получить уравнение плоской волны (2).

Ограничим объем газа в трубе двумя поршнями, расстояние между которыми равно L. Один из поршней - излучатель звуковых волн, второй - отражатель. В трубке возникает интерференция (наложение) излучаемой 1 и отразившихся от отражателя и излучателя волн 2, 3, 4, и т.д. (рис.3).

Напомним, что для интерференции необходима когерентность волн, т.е. разность фаз интерферирующих волн должна быть величиной постоянной во времени. Кроме того, смещение частиц среды под действием той или другой волны должно происходить вдоль одной прямой (однонаправленность смещения частиц среды). В нашем случае эти условия выполняются.

Рис.3

Рассмотрим сначала результат интерференции только первой и второй волн. Смещения слоя, координата которого в невозмутимом состоянии х, для этих волн запишется так:

(8)

(9)

Появление  обусловлено изменением фазы волны при отражении. В случае абсолютно твердого отражателя фаза волны меняется на . Будем считать, что в нашем случае это условие выполняется. Тогда

Результирующее смещение

(10)

Таким образом, каждый слой газа колеблется по гармоническому закону. Выражение в квадратных скобках характеризует распределение амплитуд смещений вдоль трубы.

Найдем координаты максимумов и минимумов амплитуды.

Амплитуда минимальна, если

или