Пространство состояний сети Петри

Состояние сети Петри определяется ее маркировкой. Запуск перехода изменяет состояние сети Петри посредством изменения маркировки сети. Пространство состояний сети Петри, обладающей n позициями, есть множество всех маркировок, т. е. Nⁿ. Изменение в состоянии, вызванное запуском перехода, определяется функцией изменения , которую мы назовем функцией следующего состояния. Когда эта функция применяется к маркировке  (состоянию) и переходу t_j, она образует новую маркировку (состояние), которая получается при запуске перехода t_j в маркировке . Так как t_j может быть запущен только в том случае, когда он разрешен, то функция (, t_j) не определена, если t_j не разрешен в маркировке . Если же t_j разрешен, то , где есть маркировка, полученная в результате удаления фишек из входов t_j и добавления фишек в выходы t_j.

Определение 6. Функция следующего состояния : NⁿT  Nⁿ для сети Петри С = (Р, Т, I, O) с маркировкой  и переходом t_jT определена тогда и только тогда, когда (p_i)  #(p_i, I(t_j)) для всех p_i  P. Если (, t_j) определена, то , где для всех p_iP.

Пусть дана сеть Петри С = (Р, Т, I, O) с начальной маркировкой . Эта сеть может быть выполнена последовательными запусками переходов. Запуск разрешенного перехода t_j в начальной маркировке образует новую маркировку . В этой новой маркировке можно запустить любой другой разрешенный переход, например t_k, образующий новую маркировку . Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока в маркировке будет существовать хотя бы один разрешенный переход. Если же получена маркировка, в которой ни один переход не разрешен, то никакой переход не может быть запущен, функция следующего состояния не определена для всех переходов, и выполнение сети должно быть закончено.

При выполнении сети Петри получаются две последовательности: последовательность маркировок и последовательность переходов, которые были запущены . Эти две последовательности связаны следующим соотношением: для k = 0,1,2, ... . Имея последовательность переходов и ⁰, легко получить последовательность маркировок сети Петри, а имея последовательность маркировок, легко получить последовательность переходов, за исключением нескольких вырожденных случаев. Таким образом, обе эти последовательности представляют описание выполнения сети Петри.

Пусть некоторый переход в маркировке  разрешен и, следовательно, может быть запущен. Результат запуска перехода в маркировке  есть новая маркировка '. Говорят, что ' является непосредственно достижимой из маркировки , иными словами, состояние ' непосредственно получается из состояния .

Определение 7. Для сети Петри С = (Р, Т, I, O) с маркировкой  маркировка ' называется непосредственно достижимой из , если существует переход t_jT, такой, что (, t_j) = '.

Можно распространить это понятие на определение множества достижимых маркировок данной маркированной сети Петри. Если ' непосредственно достижима из , а '' – из ', говорят, что " достижима из . Определим множество достижимости R(C, ) сети Петри С с маркировкой  как множество всех маркировок, достижимых из . Маркировка ' принадлежит R(C, ), если существует какая-либо последовательность запусков переходов, изменяющих  на '. Отношение «достижимости» является рефлексивным, транзитивным замыканием отношения «непосредственной достижимости».

Определение 8. Множество достижимости R(C, ) дли сети Петри С = = (Р, Т, I, O) с маркировкой  есть наименьшее множество маркировок, определенных следующим образом:

1.   R(C, );

2. Если '  R(C, ) и '' = (, t_j) для некоторого t_j  T, то ''  R(C, ).