Классификация систем массового обслуживания

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Многоканальные СМО состоят из нескольких приборов, и каждый них может обслуживать заявку.

Также СМО подразделяются на системы без ожидания и с ожиданием. В первых заявка покидает очередь, если к моменту её прихода отсутствует хотя бы один канал, способный немедленно приступить к обслуживанию данной заявки. Вторые, в свою очередь, делятся на системы без ограничения и с ограничениями по длине очереди.

Также СМО делятся на системы с приоритетами и без них. В свою очередь системы с приоритетом делятся на СМО с прерыванием и без.

Одноканальная смо с неограниченной очередью

Рис.4.3

Найдем вероятности p_k:

Для состояния S₀: , отсюда;

Для состояния S_1n: , подставляем полученное значение для p₁: . Аналогично,.

Вероятность p₀ найдем из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при<1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

–вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки. =/ – мера загрузки одноканальной СМО.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k, ... заявок с вероятностями p₀, p₁ p₂,... Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

.

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием: .

Формулы Литтла

Рис.4.4

Первая формула Литтла позволяет определить время реакции СМО (время пребывания заявки в системе).

Пусть X(t) – число заявок, поступивших в СМО до момента времени t, Y(t) – покинувших СМО до t. Обе функции случайны и увеличиваются скачком на единицу в моменты прихода и ухода заявок. Тогда число заявок в системе в момент времени t можно определить как: . Рассмотрим очень большой промежуток времениT и вычислим среднее число заявок в системе:

.

Интеграл равен площади ступенчатой фигуры, ограниченной функциями X(t) и Y(t), эта сумма состоит из прямоугольников, ширина которых равна единице, а длина – времени пребывания i-ой заявки в системе. Сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время T. Правую часть домножим и разделим на : .T – среднее количество заявок, пришедших за время T. Поделив сумму всех времен t_i на среднее число заявок, получим среднее время пребывания заявки в системе: .

Совершенно аналогично можно получить среднее время пребывания заявки в очереди: .

Многоканальная смо с неограниченной очередью

Рис.4.5

Найдем вероятности p_k:

Для состояния S₀: ;

Для состояний S₁– S_n: ;

Для S_n+1: ; ...

Для S_n+s-1: ;

Для S_n+s: .

Из первых n+1 уравнений получаем:

Из последнего уравнения выражаем: и подставляем в предпоследнее:,. Тогда.

Продолжая аналогию: .

Теперь найдем p₀, подставив полученные выражения в нормировочное условие ():. Отсюда.

Показатели эффективности смо

– Вероятность потери требования в СМО. Особенно часто ею пользуются при исследовании военных вопросов. Например, при оценке эффективности противовоздушной обороны объекта она характеризует вероятность прорыва воздушных целей к объекту. Применительно к СМО с потерями она равна вероятности занятости обслуживанием требований всех n приборов системы. Чаще всего эту вероятность обозначают p_n или p_отк.

– Вероятность того, что обслуживанием требований в системе занято k приборов, равна p_k.

– Среднее число занятых приборов: характеризует степень загрузки обслуживающей системы.

– Среднее число свободных от обслуживания приборов :.

– Коэффициент простоя приборов: .

– Коэффициент занятости оборудования: .

– Средняя длина очереди: ,p_k - вероятность того, что в системе находится k требований.

– Среднее число заявок, находящихся в сфере обслуживания: .

– Вероятность того, что число заявок в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа m: . Этот показатель особенно необходим при оценке возможностей размещения требований при ограниченности времени для ожидания.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности СМО могут быть использованы стоимостные показатели:

q_об – стоимость обслуживания каждого требования в системе;

q_ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявок в очереди в единицу времени;

q_у – убытки, связанные с уходом из системы заявки;

q_k – стоимость эксплуатации каждого прибора в единицу времени;

q^k_пр – стоимость простоя единицы времени k-го прибора системы.

При выборе оптимальных параметров СМО по экономическим показателям можно использовать функцию стоимости потерь в системе (для СМО с ожиданием): T – интервал времени.

Для СМО с отказами: .

Для смешанных: .

Критерий экономической эффективности СМО: ,с – экономический эффект, получаемый при обслуживании каждой заявки.