1.3 Балансовое уравнение

Объединяя уравнения (1), (3) и (5) получим следующее балансовое уравнение:

(6)

Это уравнение говорит о следующем: источники тепла с интенсивностью будут создавать тепло по всему объему, которое будет тратиться на нагревание каждой точки тела (со скоростью нагревазависящей, в том числе, от удельной теплоемкости и плотности в точке) и на передачу тепла через поверхность объема -по направлению наибольшего падения температуры. Верно и обратное суждение – входящий через поверхность поток тепла будет идти на нагрев объема и на изменение его внутренней энергии.

В уравнении (6) интегралы берутся по объему и площади, поэтому переменную можно исключить из интегралов, что дает следующее соотношение:

Переменную можно сократить, что означает, что данное соотношение остается справедливым для любого промежутка времени:

(7)

В уравнении (7) два интеграла зависят от объема и один от площади. Согласно теореме Остроградского – Гаусса можно перейти от интеграла по поверхности к интегралу по объему: в результате чего, получим:

Используя соотношение , где- оператор Лапласа (лапласиан) в декартовых координатах, получим:

Т.к. интеграл во всех слагаемых берется по объему:

В силу произвольности объема, интеграл будет равен нулю только, если будет равно нулю подынтегральное выражение:

и окончательно

(8)

где ,.

Уравнение (8) называются уравнением теплопроводности. Его можно трактовать следующим образом: изменение температуры в каждой точки среды со временем определяется распределением температуры в пространстве и действием источников энергии в каждой точке.

В краткой записи уравнение теплопроводности обычно записывают следующим образом:

(9)

1.4 Частные случаи уравнения теплопроводности.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения теплопроводности:

1. Распространение тепла без тепловыделения, когда в рассматриваемой области отсутствуют источники тепла, т.е. при . Уравнение теплопроводности в этом случае будет записываться в следующем (полном и сокращенном) виде:

(10)

2. Распространение тепла при установившемся потоке тепла, когда изменения температуры по времени не происходит, т.е. - переходный процесс прекращается и рассматривается установившийся (стационарный) процесс:

(11)

Данное уравнение называется уравнением Пуассона.

3. Распространение тепла при установившемся потоке тепла и без тепловыделения, т.е. при и:

(12)

Данное уравнение называется уравнением Лапласа.

2. Решение уравнения теплопроводности.

2.1. Понятие решения и задачи для уравнения в частных производных. Краевые и начальные условия.

Уравнение теплопроводности относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных. Задача поиска и анализа решений данных уравнений является одной из задач математической физики.

Решение (общее) уравнения в частных производных представляет собой бесконечное множество функций от независимых переменных. Для того чтобы выделить единственное решение необходимо задать дополнительные условия – временные и/или краевые. Тем самым вводится понятие задачи – это уравнения с дополнительными условиями.

Так как уравнение теплопроводности содержит как пространственные, так и временную координату, то для получения его частного решения необходимо задать начальное условие по времени и краевые условия для координат.