8.2. Множественная корреляция и регрессия рядов динамики

В большинстве случаев экономические явления редко развива­ются индивидуально, они образуют целые комплексы, где одно самостоятельное явление влияет на другие или само подчиняется влиянию других явлений. Для исследования влияния ряда явлений на одно результативное явление применяется множественный кор­реляционно-регрессионный анализ, который подробно рассматри­вается в курсах „Многомерные статистические методы в эконо­мике" и „Эконометрика".

В качестве уравнения регрессии наиболее часто используется

линейная функция

y= а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + ... + а_nх_n, (8.9)

коэффициенты которой обычно определяются методом наименьших

квадратов.

При построении многофакторных моделей, полученных по вре­менным рядам, возникают две проблемы — автокорреляция и мультиколлениарность. Как отмечалось выше, для оценки пара­метров модели (8.9) используется метод наименьших квадратов, который основывается на предпосылке независимости друг от друга отдельных наблюдений по одной и той же переменной. В боль­шинстве случаев в экономических временных рядах последова­тельные наблюдения зависят друг от друга, т. е. между ними существует автокорреляция, в условиях которой метод наимень­ших квадратов дает неоптимальные оценки параметров регрессии. Для устранения автокорреляции в качестве важнейшей меры ре­комендуется исключить тенденции из временных рядов. Другой способ уменьшения автокорреляции основан на включении фак­тора времени в уравнение множественной регрессии (8.9). Этот прием приводит к частичному устранению автокорреляции лишь при условии, что все рассматриваемые временные ряды имеют

одинаковую тенденцию.

Автокорреляцию в наблюдениях ε_1,ε_2, ε_3, ..., ε_п можно объяс­нить следующими причинами:

1. в изменении изучаемых величин имеется тенденция разви­ тия;

1. в модели регрессии учтены не все факторы, оказывающие

существенное влияние на величину результата;

3) неправильно выбрана форма связи между зависимой и не­ зависимой переменными;

4) в модели не учтен ряд факторов, влияние каждого из ­ которых несущественно, но когда их изменения по направлению и фазе совпадают, в отклонениях может возникнуть автокорреляция;

5) наличие ошибок измерения в независимых переменных.

Наиболее распространенным приемом выявления наличия ав­токорреляции служит использование критерия Дарбина — Уотсона (см. п. 3.2.). Другое необходимое условие получения оптимальных оценок параметров модели (8.9) — отсутствие среди х, линейно зависимых, факторов. Нарушение этого условия ведет к возник­новению явления мультиколлениарности.

Одним из практических методов выявления мультиколлениар­ности служит определение парного коэффициента корреляции

rx_iх ₌ (x_iх_j - x_iх_j )/ σ_iσ_j

Если значение коэффициента по абсолютной величине превышает 0,8, то факторы считаются мультиколлениарными. Для устранения мультиколлениарности необходимо первоначально выяснить основ­ные причины ее возникновения. Они могут заключаться в сле­дующем.

1. В качестве независимых переменных выбраны показатели, характеризующие один и тот же признак (стоимость основных фондов, численность рабочих и т. д. между собой коррелированы, так как они являются характеристиками размера предпри­ятия).

2. Неоднородность совокупности исходных данных(если совокупность состоит из двух частей , каждая из которых формировалась при различных условиях, то высокая корреляционная связь между переменными может быть обусловлена случайным положением изменений переменных в одной совокупности по сравнению с другой).

3.Использование в качестве независимых переменных величин ,сумма которых –постоянное число(удельные веса, проценты и т.д.).

4.Наличие независимых переменных, отнесенных к одному и тому же признаку.

5.Присутствие исходных данных, представляющих собой последовательности, имеющие в своей динамике закономерные компоненты.

Устранение мультиколлениарности в первую очередь связано с исключением из модели регрессии одной или нескольких свя­занных независимых переменных. Если же имеются сомнения от­носительно того, какую из линейно связанных переменных оставить в модели, то можно применить процедуру пошаговой регрессии. Другой путь устранения эффекта мультиколлениарности состоит в преобразовании независимых переменных в новые переменные не коррелированные между собой. Для этого можно использовать метод главных компонент и факторный анализ. Эти методы под­робно рассмотрены в курсе „Многомерные статистические методы".

Пример 8.1. Для выяснения тесноты связи между явлениями были взяты следующие данные: x_t — объем промышленной продукции региона; y_t — объем продукции сельского хозяйства региона (табл. 8.1)

Таблица 8.1

Объемы промышленной и сельскохозяйственной продукции

региона за 1993 — 2000 гг.

Год	x1	y1	x-xsr	y-y1sr	(x-xsr)*(y-ysr)	(x-xsr)^2	(y-ysr)^2
1	2	3	4	5	6	7	8
1993	248,3	70,9	-106,7	-9,8	1045,6	11384,9	95,8
1994	285,9	77,0	-69,1	-3,7	255,7	4774,8	13,6
1995	322,8	78,1	-32,2	-2,6	83,7	1036,8	6,7
1996	345,0	81,6	-10,0	0,9	-9,0	100,0	0,8
1997	374,3	78,7	19,3	-2,0	-38,6	372,5	4,0
1998	395,7	87,0	40,7	6,3	256,4	1656,5	39,9
1999	420,0	87,9	65,0	7,2	468,0	4225,0	52,0
2000	448,0	84,3	93,0	3,6	334,8	8649,0	13,1
итого	2840,0	645,5	-	-	2395,7	32199,5	225,9

Рассчитав коэффициент корреляции по формуле (8.2), полу­чим:

r_ху = 0,877,

что говорит о сильной взаимосвязи между этими явлени­ями. Однако на тесноту связи во временных рядах влияет зави­симость каждого последующего уровня от предыдущего, т. е. преж­де чем коррелировать ряды динамики (по уровням), необходимо проверить каждый ряд на наличие или отсутствие в них авто­корреляции (см. п. З.2.). В случае ее наличия между уровнями ряда она должна быть устранена. Используя формулу (1.9), рас­смотрим коэффициент корреляции между рядом Х_t (см. табл. 8.1, графу 2) и рядом Х_{t + 1} (t= 1, 2, ..., n + 1). Проведенная проверка показала, что для ряда Х_t r1 = 0,996, а для ряда У_t r₁ = 0,488. Это означает, что в исследуемых рядах существует автокорреляция.

Таким образом, чтобы сделать обоснованные статистические выводы о взаимосвязи исследуемых рядов, необходимо устранить автокорреляцию. Одним из способов ее устранения является ис­ключение из анализируемых рядов их тенденций развития и вы­числение корреляции между отклонениями от выровненных уровней(тренда) по формуле (8.3).Все вычисления представлены в табл.8.2.Коэфициент корреляции для рядов отклонений равен 0,22.Это говорит о том, что между данными рядами существует ложная корреляция. Для ряда Х_t выражается уравнением прямой Х_{t =231,3+27,5t}

А для ряда У_t - y_{t =71.7+2t}

Таблица 8.2

Вычисление коэффициента корреляции для отклонения

год	x	xsr	x-xsr	(x-xsr)^2	y	ysr	Y-ysr	(y-ysr)^2	(x-xsr)* (Y-ysr)
1993	248.3	258.8	-10.5	110.3	70.9	73.7	-2.8	7.8	29.4
1994	285.9	286.3	-0.4	0.2	77.0	75.7	1.3	1.7	-0.5
1995	322.8	313.8	9.0	81.0	78.1	77.7	0.4	0.2	3.6
1996	345.0	341.3	3.7	13.7	81.6	79.7	1.9	3.6	7.0
1997	374.3	368.8	5.5	30.3	78.7	81.7	-3.0	9.1	-16.6
1998	395.7	396.3	-0.6	0.4	87.0	83.7	3.3	10.9	-2.0
1999	420.0	423.8	-3.8	14.4	87.9	85.7	2.2	4.8	-8.4
2000	448.0	451.3	-3.3	10.9	84.3	87.7	-3.4	11.6	11.2
итого	2840.0	2840.4	-	-	645.5	645.6	-	49.7	23.7

Исходя из высшее изложенного можно сделать следующие выводы. При применении корреляционно - регрессионного анализа для выявления связи между явлениями необходимо обращать внимание на соответствие начальным данным предпосылкам такого анализа.

При выявлении факторов, оказывающие влияние на исследуемый процесс, и выборе формы их связи следует проводить подробный экономический анализ. Необходимо иметь в виду то, что анализом нельзя охватить весь комплекс существенных явлений т. е. является экспериментом нахождения конкретной формы связи между явлениями. Следует помнить, что начальные данные практически всегда представляют собой выборочную совокупность, поэтому результаты анализа всегда имеют вероятный характер. Следовательно, необходима их статистическая оценка с помощью различных критериев, которые рассматриваются в курсе «Эконометрика»