Регрессионный анализ

Иногда при анализе корреляционных связей важно установить, как количественно меняется один признак по мере изменения другого на единицу. В этих случаях регрессионный анализ осуществляется на основании вычисления и оценки коэффициентов регрессии (R). Поскольку изменчивых величин две (x и y) и регрессия является двусторонней, то соответственно будут и два коэффициента R_xy и R_yx , которые вычисляются по формулам:

R_x/y = r_xy и R_y/x = r_xy.

Как видно, для определения значения коэффициента регрессии необходимо вычислить среднее квадратическое отклонение, т.е. знать: сигму ряда x (); сигму рядаy () ; величину коэффициента линейной корреляции (r_xy) .

Образец решения задачи

Вычисление коэффициентов регрессии

Девочки 5 лет		Отклонения от М		Квадраты отклонений		dxdy
Рост, см x	Масса тела, кг y	dx= x-Mx	dy= y-My	dx2	dy2
87 89 91 91 95 96 96 97 102	13 12 14 14 16 15 17 18 20	-6,8 -4,8 -2,8 -2,8 1,2 2,2 2,2 3,2 8,2	-2,4 -3,4 -1,4 -1,4 0,6 -0,4 1,6 2,6 4,6	46,24 23,04 7,84 7,94 1,44 4,84 4,84 10,24 67,24	5,76 11,56 1,96 1,96 0,36 0,16 2,56 6,76 21,16	16,32 16,31 3,92 3,92 0,72 -0,88 3,52 8,32 37,72
∑x= 844 Мx= 93,77 см	∑y= 139 Мy = 15,44 кг			∑dx2 = 173,56	∑dy2 = 52,24	∑= 90,76
n= 9

Расчет средних величин М_x и М_y проводят по общепринятой формуле (M = ), а отклонений – по формулеd =M-V. Полученные данные (из таблицы задачи) подставляют в формулу:

r_xy=

Далее определяют среднюю ошибку коэффициента и критерий t :

m_r=

t=0,95.

По таблице значений t-критерия при p <0,005 и числе степеней свободы 7 доверительный критерий должен быть равен 2,37, а при решении данной задачи получен большее значение. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, т.е. связь между ростом и массой тела сильная, прямая, достоверная.

Величины коэффициентов регрессии в этой задаче могут быть вычислены и без определения средних квадратических отклонений и коэффициента линейной корреляции (r_xy) по формулам:

R_x/y=

R_y/x=

Для оценки репрезентативности данных, полученных в результате выборочных исследований, необходимо сначала определить сначала ошибку для коэффициента регрессии по формуле:

m _Rx/y=

Степень представительности устанавливается по t-критерию при n= - 2 и уровне значимости 0,05:

t_xy=

Поскольку полученное значение t равно 2,54, т.е. превышает критическую величину 2,365 при p<0,005 (определяемую по специальной таблице) и числе степеней свободы, равному 7 (n=9–2=7), выборка признается репрезентативной. Это дает основание считать, что увеличение роста на 1 см приводит к увеличению массы тела на 1,74 кг у девочек в возрасте 5 лет. Коэффициент регрессии, равный 0,523 см, говорит о том, что увеличение массы тела на 1 кг происходит при увеличении роста на 0,523 см.

Коэффициент регрессии характеризует только линейную зависимость и имеет знак «плюс» при положительной или знак «минус» - при отрицательной связи.

В медицинской практике регрессионный анализ находит применение в случае, когда надо оценить количественное изменение одного показателя по мере изменения количественной характеристики другого, в то время как коэффициент корреляции служит общим критерием оценки сопряженности признаков.

Между коэффициентами корреляции и регрессии имеется определенная связь, выражающаяся формулой:

r=

Зная коэффициенты регрессии, можно легко определить коэффициенты корреляции:

r=.