Коэффициент корреляции рангов Кендэла

При проведении углубленных исследований рекомендуется поменять более сложный критерий оценки, который является более чувствительным и при добавлении новой пары наблюдений не требует переранжировки рядов.

Алгоритм вычисления коэффициента Кендэла

1. По общим правилам определяют порядковые ранги для каждого варианта ряда x и y.

2. Для каждого ранга второго ряда определяют число последующих рангов, больших по величине, и суммируются полученные числа, определяя величину P.

3. Для каждого ранга второго ряда находят число последующих рангов, которые по величине меньше, чем взятый ранг; найденные величины суммируются и получают величину Q, которая всегда является отрицательным показателем соответствия между рядами рангов и поэтому берется со знаком минус.

4. Вычисляют сумму полученных величин: S= P+Q.

5. Определяют коэффициент Кендэла по формуле, дают ему оценку достоверности:

Образец решения задачи

Исходные данные и параметры для расчета коэффициента корреляции рангов Кендэла

5- летние девочки		Ранги
Рост, см x	Масса тела, кг y	Rx	Ry
87 89 91 91 95 96 96 97 102	13 12 14 14 16 15 17 18 20	1 2 3,5 3,5 5 6,5 6,5 8 9	2 1 3,5 3,5 6 5 7 8 9
n=9

В соответствии с указанным алгоритмом вычисления для ряда R_y определяют:

P = 7 + 7 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 34

Q = 1 + 0 + 0 + 0 +1 + 0 + 0 + 0 = -2

S = P + Q = 34 + (- 2) = 32.

Полученную величину S и значение n подставляем в формулу:

τ =

По специальной таблице (обычно имеющейся в специальной литературе) значений вероятностей для оценки коэффициентов корреляции рангов Кендэла определяем вероятность ρ, которая должна при достоверной связи быть меньше 0,05. При n=9 и S=32 вероятность соответствует 0,0001 и коэффициент корреляции (τ = 0,89) признается значимым, т.е. между ростом 5-летних девочек и массой тела существует прямая, сильная и достоверная зависимость. Таблица рассчитана для числа наблюдений от 4 до 10, если число наблюдений больше, то оценку значимости коэффициента Кендэла лучше проводить по формуле:

t =

где t – доверительный критерий.

Для вычисления коэффициентов ранговой корреляции рациональнее использовать программируемые микрокалькуляторы или специальные компьютерные программы определения коэффициентов на языке Бейсик.

Коэффициенты ассоциации и сопряженности (контингенции)

При изучении зависимости качественных признаков, когда имеют место так называемые альтернативные признаки, т.е. вариация двух противоположных возможностей (“заболел – не заболел” или “привит – не привит” и др.), измерение связи может быть проведено в четырехпольной таблице путем вычисления коэффициентов ассоциации и сопряженности (контингенции). Когда получены статистические данные, характеризующие связь между двумя альтернативными признаками, то используются четырехклеточные таблицы сопряженности двух дихотомических признаков (разделенных надвое) с альтернативными значениями (“+”, “-”) (табл. 2).

Таблица 2

Таблица сопряженности признаков

Значение признака	В (да)	В (нет)	Суммарные значения
А (да) А (нет)	a c	b d	a + b c + d
Итого	a + c	b + d	a + b + c + d

Коэффициент ассоциации является показателем оценки тесноты связи между двумя альтернативными признаками и вычисляется по формуле:

Q =

Коэффициент сопряженности (современное название – коэффициент контингенции) вычисляется по формуле:

C₁ =

Если известен критерий согласия χ² (хи- квадрат), то при небольшом числе (до 100 единиц) наблюдений коэффициент контингенции можно определить по формуле:

C₁ =

Образец решения задачи

Значение признака	Заболели гриппом		Не заболели		Всего рабочих
Иммунизированы Не иммунизированы	32 82	a c	1388 1088	b d	1420 1170	a + b c + d
Итого	114	a + c	2476	b + d	2590	a+b+c+d

Q =

C₁ =

При χ², равном 34,4, получаем:

C₁ =

Коэффициент контингенции всегда имеет меньшее значение, чем коэффициент ассоциации; если он не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии связи между качественными признаками.

Коэффициенты сопряженности и ассоциации оцениваются аналогично коэффициенту корреляции (от +1 до - 1). Рассчитанные в задаче коэффициенты свидетельствуют о наличии связи между рассматриваемыми признаками, т.е. прививки против гриппа влияют на заболеваемость. Знак «минус» указывает на обратную связь.