4.5.4. Проверка адекватности и точности многофакторной модели

Уравнение многофакторной модели может быть получено с помощью метода наименьших квадратов путем решения систе­мы нормальных уравнений.

Существует другой, упрощенный способ нахождения пара­метров

Так, в случае двух факторных признаков параметрыилинейной модели (4.38) могут быть найдены с помощью системы нормальных уравнений:

ПРИМЕР 4.25. По данным примера 4.24 найти вид уравнения множественной регрессии.

Составим и решим систему нормальных уравнений. Все не­обходимые расчеты были сделаны в примере 4.24:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Найдемвторым способом. Пользуясь вычислениям

примера 4.24, получаем:

Уравнения некоторых из многофакторных моделей могут быть приведены к линейному виду. Тем самым неизвестные па­раметры можно найти с помощью системы (4.41). Например, рассмотрим производственную функцию Кобба—Дугласа. Про­логарифмируем ее:

*

откуда, делая замену, получаем вспомогательное уравнение

где

для которого параметры(и тем самым параметры

исходного уравнения) могут быть найдены с помо­щью системы (4.41).

Адекватность всей модели проверяется с помощью F-критерия Фишера и средней ошибки аппроксимации.

Правило проверки гипотезы.Если окажется, что наблюдаемое значениекритерия больше критического

то с уровнем значимостиэто свидетельствует о значимости

(и тем самым о статистической значимости эмпириче-

ских данных).

Замечание.Некоторые критические значения критерия Фи­шера приведены в табл. СЗ Приложения С.

ПРИМЕР 4.26. С вероятностьюоценить статистиче­

отсюда

тогда

причем

скую значимость эмпирических данных из примера 4.24. Имеем:

Поскольку 1,5536 < 19,00, с вероятностью 0,95 утверждается: эмпирические данные не являются статистически значимыми.

Величина средней ошибки аппроксимации е подсчитывает­ся по формуле

где — соответственно эмпирическое и теоретическое (рассчи­танное по многофакторной модели) значения результа­тивного признакасоответствующие данным значениям факторных признаковВеличинане должна

превышать 12—15%.

ПРИМЕР 4.27.Для данных примера 4.24 найти величину средней ошибки аппроксимации.

Используем модель (4.41) и по ней определяем значения (табл. 4.20).

Таблица 4.20

Расчеты к примеру 4.27

Получаем

что свидетельствует об удовлетворительной точности построен­ной модели.

Чтобы подсчитать суммарное влияние факторных признаков на результативный, нужно вычислить общий индекс детерми­нации

что свидетельствует о суммарном влиянии факторных призна­ков .на результативный Г лишь в пределах 60,84%.

4.5.5. Критерии отбора факторных признаков в модель

Рассмотрим критерии отбора факторных признаков в мо­дель.

Согласно расчетам для примера 4.24

Во-первых, между факторными признаками не должно на­блюдаться корреляционной и тем более функциональной зави­симости (условие отсутствия мультиколлинеарности). Считает­ся, что мультиколлинеарность отсутствует, если

что указывает на отсутствие мультиколлинеарности.

Так, согласно (4.43) общий индекс детерминации для дан­ных примера 4.24 равен

Во-вторых, влияние каждого из факторных признаков, от­бираемых в модель, на результативный должно быть максималь­ным. Оценить степень этого влияния можно двумя способами.

Первый способ основан на применении-критерия Стью- дента:

причем

то с уровнем значимости это свидетельствует о значимости коэффициента парной корреляции, а следовательно, о вы­сокой степени влияния факторана

ПРИМЕР 4.28. Установить с уровнем значимостистепень влияния каждого из факторов X_tи Х₂на Yиз приме­ра 4.24.

Критическое значение критерия для числа степеней свободы и уровня значимостиравно согласно

табл. С2 Приложения С

Видим, что в обоих случаях неравенство проверки гипотезы оказалось нарушенным. ВлияниеинаYнезначительное.

Итак, включению в модель подлежат те из факторных при­знаков, для которых выполняется неравенство проверки гипоте­зы. И наоборот, если дляуказанное неравенство нарушается, то он исключается из модели.

Второй способ определения влияния факторных признаков на результативный заключается в нахождении дельта-коэффи­циентаОн рассчитывается по формуле

где— параметры линейной модели.

ПРИМЕР 4.29. Определить степень влияния каждого из фак­торовииз примера 4.24.

или 95,86%.

Получаем: факторвлияет на результативный фактор 7 в пределах 4,3%, а фактор— в пределах 95,9%.

Следующий показатель называют средним коэффициентом эластичности. Он позволяет ответить на вопрос: на сколько процентов изменится результат Упри изменении факторана один процент? Этот показатель рассчитывается по формуле

ПРИМЕР 4.30. Для факторови из примера 4.24 найти средние коэффициенты эластичности.

Имеем:

Итак, при изменении факторана 1% результат изменится на 2,65%, а изменение факторана 1% влечет за собой изме­нение результата на 113,12%.

С помощью примеров 4.29 и 4.30 можно заключить, что более значимым является факторный признакОн может быть оставлен в модели, а признакисключается из рассмот­рения.