4.4.3. Проверка гипотезы о случайности,

отсутствии автокорреляции и нормальном распределении значений ряда остатков

Из п. 4.4.2 следует, что для ряда остатковможно полу­чить «хорошие» оценки, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. — случайная величина;

2. значения ряда остатков не коррелируют между собой (от­сутствие автокорреляции);

3. величиныподчинены нормальному закону распреде­ления.

Проверка гипотезы о случайности значенийможет быть осуществлена методом поворотных точек. Говорят, что длярассчитанного по формуле (4.33), имеет место поворотная точ­ка, если

Обозначим — число поворотных точек.

Правило проверки гипотезы.Если число поворотных точек

при этом [*] — целая часть числа, то ряд остатков (4.34) есть случайный ряд чисел.

ПРИМЕР 4.19.Для ряда динамики из примера 4.7 проверить гипотезу случайности ряда остатков.

В примере 4.17 было доказано, что наиболее точной являет­сямодель (4.30). Там же были найдены значенияОпределимвтабл. 4.14 число поворотных точек (отметим их знаком «+»).

Таблица 4.14

Расчеты к примеру 4.19

Из таблицы следует, что все значения ряда остатков распо­ложены в порядке возрастания, поворотных точек нет,

С другой стороны, целая часть числа

Неравенство не выполняется. На основании правила про­верки гипотезы заключаем: гипотеза о случайности значений ряда остатков исследуемого ряда динамики отвергается.

Выяснить наличие или отсутствие автокорреляции между значениями ряда остатков можно с помощью-критерия Дарбина—Уотсона. Для этого необходимо подсчитать наблюда­емое значение

Если полученное значение меньше 2,

то проверяется гипотеза о наличии (отсутствии) положительной автокорреляции. В случае

рассматривается гипотеза о наличии (отсутствии) отрицатель­ной автокорреляции.

Наблюдаемое значение сравнивают с критическимии

которые находятся по табл. 3 Приложения С в зависимости от уровней значимости а,числа уровней пи числаv= кфакторных признаков в модели.

Для проверки гипотезы о наличии отрицательной автокор­реляции необходимо также найти

Правило проверки гипотезы:

1. если

то имеет место положительная (отрицательная) автокорреляция;

2. если

то однозначный ответ о наличии положительной (отрицатель­ной) автокорреляции дать нельзя;

3. если

тогипотеза о наличии положительной (отрицательной) авто­корреляции отвергается.

Затем определяют наблюдаемое значение критерия

которое сравнивают с критическим

Критерий Дарбина—Уотсона применяется к рядам динами­ки, в которых число уровней не меньше 15. Для выборок малых объемов или когда значение критерия попадает в закон неопре­деленности, используют критерий Стьюдента. С этой целью не­обходимо найти величину коэффициента автокорреляции пер- иого порядка

рассчитываемым по табл. С2 Приложения С в зависимости от уровня значимости а и числа степеней свободы

Правило проверки гипотезы. Если

(4.35)

то это с уровнем значимости а свидетельствует о существенно­стичто означает: между значениями ряда остатков присут­ствует автокорреляция.

ПРИМЕР 4.20. С вероятностьюподтвердить или

опровергнуть гипотезу о наличии автокорреляции между значе­ниями ряда остатков из примера 4.7.

Произведем все необходимые вычисления в табл. 4.15 (зна­ченияподсчитаны в примере 4.19).

Таблица 4.15

Расчеты к примеру 4.20

Поскольку неравенство (4.35) выполняется, то с указанной вероятностью заключаем: между значениями рада остатков ав­токорреляция присутствует.

Проверка гипотезы о нормальном распределении ряда остат­ков может быть осуществлена известными методами (например, с помощью критерия согласия Пирсона). Для рядов динами­ки наиболее применим следующий метод.

Правило проверки гипотезы.Если одновременно выполняют­ся оба неравенства

то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков прини­мается.

Здесьи— значения асимметрии и эксцесса, соответ­ственно равные:

ПРИМЕР 4.21.Проверить гипотезу о нормальном распреде­лении ряда остатков из примера 4.7. Выполним все необходи­мые вычисления в табл. 4.16 (значенияподсчитаны в при­мере 4.19).

Таблица 4.16

Расчеты к примеру 4.21

Видим, что оба неравенства (4.36) проверки гипотезы не вы­полняются. Следовательно, гипотеза о нормальном распределе­нии ряда остатков отвергается.

Отметим, что гипотеза о нормальном распределении значе­ний ряда остатков с помощью указанной методики корректно может быть проверена для рядов динамики с числом уровней Следовательно, для исследуемого случая она не даст од­нозначного ответа.

4.4.4. Интервальный прогноз

После ввода, анализа и обработки случайных остатков ана­лизируемого ряда динамики можно уточнить точечный прогноз значений уровней с помощью интервального прогноза, который осуществляется с помощью доверительной вероятности(уров­ня значимостиI.

Утверждается, что значениенаходится в интервале

при этом— значение точечного прогноза на рассматриваемый период,

ПРИМЕР 4.22.С вероятностью 0,95 определить границы ин­тервала, в котором будет находиться величина объема продаж торгующей организации в феврале 2008 г. (данные примера 4.7). Выполним все необходимые вычисления в табл. 4.17.

Таблица 4.17

Расчеты к примеру 4.22

Отсюда

Тогда верхняя и нижняя границы интервала прогнозирова­ния соответственно равны:

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что объем продаж торгующей организации в феврале 2008 г. будет нахо­диться в пределах от 1,1221 до 1,1379 млн руб.

4.5. Многофакторные модели

4.5.1. Основные положения

Согласно примеру 4.18 точечный прогноз на февраль состав­ляет

Ранее были рассмотрены примеры регрессии между двумя признаками (факторами) X (в случае с рассмотренными рядами динамики Х-Т— время) и Y.Такая регрессия называется пар­ной. Признак вносит название факторного, аY— результатив­ного. В случае, когда число факторных признаков больше одно­го, регрессия называется множественной, или многофакторной. В этом случае уравнение регрессии между факторными призна­камии результативным К имеет вид:

Примерами многофакторных моделей могут служить:

1. линейная модель

в частности, для двух факторных признаков линейная модель имеет вид

2. степенная модель

частным случаем которой является производственная функция Кобба—Дугласа

3. показательная модель

t

4. параболическая модель

5. гиперболическая модель

Множественная регрессия отвечает на те же вопросы и ре­шает те же задачи, что и парная.

Построение модели множественной регрессии включает в себя этапы:

1) выбор формы связи (уравнения регрессии);

2. отбор факторных признаков;

3. обеспечение достаточного объема совокупности для по­лучения несмещенных оценок.

4.5.2. Множественный коэффициент корреляции

Оценка тесноты связи производится с помощью множе­ственного коэффициента корреляции В общем

виде

Остаточную дисперсию можно найти, подсчитав определи­тель матрицы, состоящей из парных коэффициентов линейной корреляциимежду результативным признаком бифактор­нымиX.,а также межфакторных коэффициентов линейной кор­реляции

Общая дисперсия может быть найдена как определитель ма­трицы, состоящей из межфакторных коэффициентов линейной корреляции:

Парные и межфакторные коэффициенты линейной корре ляции определяются по формулам:

или

или

Значение множественного коэффициента линейной корреля ции должно быть больше парных коэффициентов корреляции. Если число факторных признаков равно двум, то

ПРИМЕР 4.23.Дана зависимость между факторамии У (табл.4.18).

Таблица 4.19

Расчеты к примеру 4.23

Таблица 4.18

Исходные данные к примеру 4.23

Вычислить множественный коэффициент корреляции и установить вид уравнения линейной регрессии.

Следуя соответствующим определениям, найдем все необхо­димые данные для вычисления множественного коэффициента корреляции (табл. 4.19).

Величина свидетельствует о достаточ­

но тесной связи между рассматриваемыми факторами и высо­кой степени линейности корреляционной зависимости.

4.5.3. Уравнение многофакторной модели

Уравнение многофакторной модели может быть получено с помощью метода наименьших квадратов путем решения систе­мы нормальных уравнений.

Существует другой, упрощенный способ нахождения пара­метров

Так, в случае двух факторных признаков параметрыи линейной модели (4.38) могут быть найдены с помощью си­стемы нормальных уравнений:

ПРИМЕР 4.24.По данным примера 4.20 найти вид уравне­ния множественной регрессии.

Составим и решим систему нормальных уравнений. Все не­обходимые расчеты были сделаны в примере 4.23: