3.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какие величины называются скалярными, какие векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как найти координаты векторов по координатам точек его начала и конца?

5. Каковы линейные операции над векторами?

6. Как найти проекцию вектора на ось?

7. Назовите правила сложения и вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

8. Что называется базисом (ортами) векторного пространства?

9. Напишите формулу разложения вектора по ортам.

10. Напишите формулу для определения длины (модуля) вектора.

11. Что называется направляющими косинусами вектора?

12. Напишите формулы для нахождения направляющих косинусов вектора.

13. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

14. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

15. Как найти скалярное произведение двух векторов, заданных координатами?

16. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами, заданными координатами.

17. Напишите формулу для определения проекции вектора на ось данного вектора.

18. Напишите условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

19. Дайте определение векторного произведения двух векторов.

20. Перечислите основные свойства векторного произведения двух векторов.

21. Как найти векторное произведение двух векторов, заданных координатами?

22. Напишите формулы для нахождения площади параллелограмма и треугольника.

23. Дайте определение смешанного произведения трех векторов.

24. Перечислите основные свойства смешанного произведения.

25. Как найти смешанное произведение трех векторов, заданных координатами?

26. Напишите формулы для нахождения объема параллелепипеда и тетраэдра.

27. Напишите условие компланарности трех векторов.

4. Аналитическая геометрия в пространстве

4.1. Плоскость в пространстве

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию.

Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение F(х; у; z) = 0 с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Переменные х, у, z называются текущими координатами.

Простейшей поверхностью является плоскость, задаваемая уравнением первой степени.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору нормали , имеет вид:

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0.

Общее уравнение плоскости определяется уравнением:

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось.

Если в общем уравнении плоскости отсутствуют два члена с текущими координатами (т.е. какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:

,

где а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях (рис. 20).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁ (х₁; у₁; z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂), М₃ (х₃; у₃; z₃), имеет вид:

.

Рис. 20

Угол  между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, определяется по формуле:

.

Плоскости параллельны, если(нормальные векторы(А₁;В₁;С₁) и(А₁;В₁;С₁) коллинеарны).

Плоскости совпадают, если.

Плоскости перпендикулярны, еслиА₁А₂+В₁В₂+С₁С₂= 0 (нормальные векторы(А₁;В₁;С₁) и(А₁;В₁;С₁) перпендикулярны).

Плоскость, проходящая через точку М(х₀; у₀; z₀) и параллельная плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется уравнением:

А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀) = 0.

Расстояние от точки М(х₀; у₀; z₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется по формуле:

.