- •Министерство аграрной политики украины
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 2 от 9 октября 2007г.);
- •Содержание
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Системы линейных уравнений
- •1.2. Метод обратной матрицы
- •1.3. Метод Крамера
- •1.4. Метод Гаусса
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.1. Линии первого порядка
- •2.2. Линии второго порядка Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •2.3. Вопросы для самоконтроля
- •3. Векторная алгебра
- •3.1. Основные определения и понятия
- •3.2. Скалярное произведение векторов
- •3.3. Векторное произведение векторов
- •3.4. Смешанное произведение векторов
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость в пространстве
- •4.2. Прямая в пространстве
- •4.3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4.4. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания к расчётно-графической работе Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Для выполнения ргр
- •211 Группа
- •212 Группа
- •213 Группа
- •214 Группа
- •215 Группа
- •311 Группа
- •312 Группа
- •313 Группа
- •314 Группа
- •315 Группа
- •316 Группа
- •1111 Группа
- •1112 Группа
- •1211 Группа
- •1212 Группа
- •1311 Группа
- •1312 Группа
- •1313 Группа
- •1511 Группа
- •1512 Группа
4.2. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух непараллельных плоскостей общими уравнениями:
Прямая, проходящая через точку М(х0; у0; z0) и параллельная направляющему вектору (l; m; n), определяется каноническими уравнениями:
.
Если в канонических уравнениях прямой l = 0, то прямая параллельна плоскости Оуz.
Если m = 0, то прямая параллельна плоскости Охz.
Если n = 0, то прямая параллельна плоскости Оху.
Если одновременно l = 0 и m = 0, то прямая параллельна оси Оz.
Если одновременно l = 0 и n = 0, то прямая параллельна оси Оу.
Если одновременно m = 0 и n = 0, то прямая параллельна оси Ох.
Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид:
Здесь – < t < + .
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1 (х1; у1; z1) и
М2 (х2; у2; z2), имеет вид:
.
4.3. Прямая и плоскость в пространстве
Угол между плоскостьюАх+Ву+Сz+D = 0 ипрямой, заданной каноническими уравнениями, определяется по формуле:
.
Прямая и плоскость параллельны, еслиAl+Bm+Cn= 0.
Прямая и плоскостьперпендикулярны, если.
Прямая, проходящая через точкуМ(х0;у0;z0) и перпендикулярная к плоскостиАх+Ву+Сz+D = 0, имеет направляющий вектор(А;В;С) и определяется уравнениями:
.
Расстояние от точкиМ1(х1;у1;z1) до прямой, определяется по формуле:
.
Пример 7. Даны координаты четырех точек А(1; –1; 1), В(–2; 1; 3), С(4; –5; –2), D(–1; 1; –2). Необходимо найти:
уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С;
канонические уравнения прямой АВ;
уравнение плоскости G, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ;
4) расстояние от точки D до плоскости Q.
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1 (х1; у1; z1), М2 (х2; у2; z2), М3 (х3; у3; z3), имеет вид:
.
Составим уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:
.
Преобразуем уравнение плоскости, разложив определитель по первой строке:
; (х – 1)– (у + 1) + (z – 1)= 0;
2(х – 1) –3(у + 1) + 6(z – 1) = 0.
Тогда уравнение плоскости Q имеет вид: 2х – 3у + 6z – 11 = 0.
2. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки А1 (х1; у1; z1), А2 (х2; у2; z2), определяется по формуле:
.
Подставляя координаты точек А(1; –1; 1) и В(–2; 1; 3), получим канонические уравнения прямой АВ:
или .
Направляющий вектор прямой АВ имеет координаты (–3; 2; –3).
3. Так как искомая плоскость G перпендикулярна прямой АВ, то вектор нормали плоскости параллелен направляющему вектору прямойАВ , т.е..
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0; у0; z0) перпендикулярно вектору нормали , имеет вид:
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0.
Подставляя в это уравнение вместо коэффициентов А, В, С пропорциональные им числа –3; 2; –3 и координаты точки D (–1; 1; –2), получим уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АВ:
–3(х – (–1)) + 2(у – 1) + (–3)(z – (–2)) = 0.
Преобразуем данное уравнение:
–3(х + 1) + 2(у – 1) –3(z + 2) = 0; –3х + 2у – 3z – 11 = 0 (плоскость G).
4. Расстояние от точки М(х0; у0; z0) до плоскости Q Ах + Ву + С + D = 0 определяется по формуле:
.
Подставляя координаты точки D (–1; 1; –2) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q 2х –3у + 6z – 11 = 0, найдем расстояние от точки до плоскости:
= 4.