2. Аналитическая геометрия на плоскости

2.1. Линии первого порядка

В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую.

Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Следовательно, каждая прямая есть линия первого порядка.

Общее уравнение прямой (как общее уравнение первой степени) определяется уравнением вида:

Ах + Ву + С = 0.

Рассмотрим неполные уравнения прямой.

1. С = 0. Уравнение прямой имеет вид: Ах + Ву = 0; прямая проходит через начало координат.

2.В = 0 (А  0). Уравнение имеет вид Ах + С = 0 или х = а, где а = Прямая проходит через точкуА(а; 0), она параллельна оси Оу. Число а есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (рис. 1).

Рис. 1

Если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Уравнение оси ординат Оу имеет вид: х = 0.

3.А = 0 (В  0). Уравнение имеет вид: Ву + С = 0 или у = b, где b = . Прямая проходит через точкуВ(0; b), она параллельна оси Ох. Число b есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу (рис. 2).

Рис. 2

Если b = 0, то прямая совпадает с осью абсцисс Ох. Уравнение оси абсцисс Ох имеет вид: у = 0.

Уравнение прямой в отрезках на осях определяется уравнением:

,

где числаа и b являются величинами отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 3).

Рис. 3

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х₀; у₀) перпендикулярно нормальному вектору = {A; B}, определяется по формуле:

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х₀; у₀) параллельно направляющему вектору = {l; m}, имеет вид:

.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), определяется уравнением:

.

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох, который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки, k = tgα.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

у = kх+b,

где k=tgα,b – величина отрезка, отсекаемого прямой на осиОу (рис. 4).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х₀; у₀) в данном направлении(угловой коэффициентk известен), определяется по формуле:

у – у₀=k(х– х₀).

Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М(х₀; у₀) (угловой коэффициентkнеизвестен), определяется по формуле:

у – у₀=k(х– х₀).

Рис. 4

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых

А₁х+В₁у+С₁= 0 иА₂х+В₂у+С₂= 0, определяется по формуле:

α(А₁х+В₁у+С₁) + β(А₂х+В₂у+С₂) = 0.

Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямойу = k₁х+b₁к прямой у = k₂х+b₂, определяется формулой (рис. 5):

.

Рис. 5

Для прямых, заданных общими уравнениями А₁х+В₁у+С₁= 0 иА₂х+В₂у+С₂= 0, угол между двумя прямыми определяется по формуле:

.

Условие параллельности двух прямых имеет вид:k₁=k₂или.

Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид:илиА₁А₂+В₁В₂= 0.

Нормальное уравнение прямойимеет вид:

x cosα + y sinα – p = 0,

где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,α– угол наклона перпендикуляра к положительному направлению осиОх (рис. 6).

Рис. 6

Чтобы привести общее уравнение прямой Ах+Ву+С= 0 к нормальному виду, нужно все его члены умножить нанормирующий множитель μ=,взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С.

Расстояние от точки М(х₀; у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле:

.

Уравнения биссектрис углов между прямыми А₁х+В₁у+С₁= 0 иА₂х+В₂у+С₂= 0 имеют вид:

.

Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: А (–5; –7), В (7; 2), С (–6; 8). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В; 4)уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение биссектрисы АК; 7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ; 8) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Решение.

1. Расстояние d между двумя точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) определяется по формуле:

.

Найдем длину стороны АВ как расстояние между двумя точками А(–7; –8) и В(8; –3):

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х₁; у₁) и В(х₂; y₂), имеет вид:

.

Подставляя координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

;

Преобразуем последнее уравнение:

;

3(х + 5) = 4(у + 7); 3х – 4у – 13 = 0 (AВ).

Для нахождения углового коэффициента k_AB прямой (АВ) разрешим полученное уравнение относительно у:

4y = 3x – 13;

–уравнение прямой (АВ) с угловым коэффициентом,

откуда .

Аналогично подставляя координаты точек В и С, получим уравнение прямой (ВС):

; ;

6х – 42 = –13у + 26; 6x + 13y – 68 = 0 (BC).

Разрешим уравнение прямой (ВС) относительно у: .

Отсюда .

3. Тангенс угла  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k_2­, определяется по формуле:

.

Внутренний угол В образован прямыми (АВ) и (ВС), причем это острый угол, на который надо повернуть прямую ВС в положительном направлении (против часовой стрелки) до ее совпадения с прямой (АВ). Поэтому подставим в формулу k₁ = , k₂ = :

.

В = arctg =arctg 1,575  57,59°.

4. Чтобы найти уравнение медианы (АЕ), определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС. Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части:

.

Тогда .

Следовательно, точка Е имеет координаты: Е(0,5; 5).

Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и Е, находим уравнение медианы (АЕ):

;

24х – 11у + 43 = 0(АЕ).

5. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то прямая (АВ) перпендикулярна прямой (CD). Для нахождения углового коэффициента высоты CD, воспользуемся усло­вием перпендикулярности двух прямых:

.

Тогда .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х₀; у₀) в заданном направлении (угловой коэффициент k известен), имеет вид:

y – у₀ = k (x – x₀).

Подставляя в последнее уравнение координаты точки С(–6; 8) и , получим уравнение высоты CD:

у– 8 =(х – (–6)), 3у– 24 = – 4х – 24, 4х+ 3у= 0 (CD).

Расстояние от точки М(х₀;у₀) до прямойАx + By + C =0 определяется по формуле:

.

Длину высоты CD найдем как расстояние от точки С(–6; 8) до прямой (АВ): 3х – 4у – 13. Подставляя в формулу необходимые величины, найдем длину CD:

(ед.).

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми Аx + By + C =0 и А₁x + B₁y + C₁ =0 определяются по формуле:

.

Уравнение биссектрисы АКнайдем как одно из уравнений биссектрис углов между прямыми (АВ) и (АС).

Составим уравнение прямой (АС) как уравнение прямой, проходящей через две точкиА (–5; –7) и С (–6; 8):

.

Преобразуем последнее уравнение:

;

15(х + 5) = – (у + 7); 15х + у + 82 = 0 (AС).

Подставляя коэффициенты из общих уравнений прямых (АВ) и (АС), получим уравнения биссектрис углов:

.

Преобразуем последнее уравнение:

; (3х – 4у – 13) = ± 5 (15х +у +82);

3х – 4у – 13= ± (75х +5у + 410).

Рассмотрим два случая:

1. 3х – 4у – 13= 75х +5у + 410.

Тогда общее уравнение имеет вид:

(75 – 3)х + (5 + 4)у + 410 + 13= 0.

Определим знак углового коэффициента прямой :

.

Так как , то угол наклона прямой является тупым и, следовательно, данное уравнение не является уравнением биссектрисы (АК).

2. 3х – 4у – 13= – (75х +5у + 410).

Тогда общее уравнение имеет вид:

(75 + 3)х + (5 – 4)у + 410 – 13= 0.

Так как , то угол наклона прямой является острым и, следовательно, данное уравнение является уравнением биссектрисы (АК).

(75 + 3)х + (5 – 4)у + 410 – 13= 0 – уравнение биссектрисы (АК).

7. Так как искомая прямая l параллельна сторонеАВ, то из условия параллельности двух прямых ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой (АВ):

k_l = k_AB =.

Подставляя в уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении координаты точки Е и угловой коэффициентk_l = ,получим уравнение прямойl:

; 3х–4у+ 18,5 = 0.

8. Так как прямая (АВ) перпендикулярна прямой (CD), то искомая точка М, расположенная симметрично точ­ке А относительно прямой (CD), лежит на прямой (АВ). Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применим формулы деления отрезка на две равные части:

Точка Dлежит на пересечении высотыCDи основанияАВ. Для нахождения ее координат решим систему уравнений, составленную из уравнений прямых (АВ) и (CD):

Точка D имеет координаты (1,56; –2,08).

Найдем координаты искомой точки M:

Точка M(8,12; 2,84) лежит на продолжении стороны АВ.

Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ, биссектриса АК, прямая l и точка М построены в системе координат Оху (рис.7).

Рис.7