3.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемый, который удовлетворяет следующим условиям:

1. вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи;

2. вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах:

, где α – угол между векторами и;

3. векторы ,,образуют правую тройку.

Рис. 17

Три произвольных некомпланарных вектора,,, взятые в указанном порядке, образуютправую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторувиден совершающимся против часовой стрелки (рис. 18), илевую, если по часовой стрелке.

Рис. 18

Если система координатных осей правая и векторы изаданы своими координатами,,, товекторное произведение определяется по формуле:

.

Площадь параллелограмма S, построенного на векторах и, равна модулю векторного произведения×и определяется по формуле:

S = ||.

Площадь треугольника S_, построенного на векторах и, равна половине площади параллелограмма:

S_Δ = S = ||.

3.4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов ,,называется число, равное векторному произведению, умноженному скалярно на:.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).

Рис. 19

Если векторы ,,заданы своими координатами,,,,то смешанное произведение трех векторов ,,равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:

.

Векторы ,,компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.

Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:

V = .

Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:

V_т = =.

Пример 6. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:

1) площадь грани АВС;

2) объем тетраэдра АВСD;

3) длину высоты, опущенной на грань АВС;

4) внутренний угол А треугольника АВС.

Решение.

1. Если даны точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂), то вектор выражается следующим образом через орты,,:

= (x₂ – x₁)+ (у₂ – у₁)+ (z₂ – z₁).

Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:

= (4 – 2)+ (1 – 3)+ (–2 – 1)= 2– 2– 3;

= (6 – 2)+ (3 – 3)+ (7 – 1)= 4+ 6;

= (–5 – 2)+ (–4 – 3)+ (8 – 1)= –7– 7+ 7.

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и. Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторови.

Найдем векторное произведение векторов и:

= (–2∙6 – 0∙(–3))– (2∙6– 4∙(–3))+ (2∙0 – 4∙(–2))=

= –12– 24+ 8.

Найдем модуль векторного произведения

= .

Тогда S_АВС = =∙ 28 = 14.

2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах,,. Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов,,:

= = 308.

Тогда объем тетраэдра V_АВСD = ∙= ∙ 308 = .

3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания S_ на высоту H:

.

Выразим высоту Н из последнего уравнения: .

Подставляя в эту формулу и S_ = S_АВС = 14, получим:

.

4. Косинус угла , образованного векторами и, равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:

cos =

Найдем модули (длины) векторов и:

|| =;

|| =.

Тогда cos А = cos = .

А  109,65.