Примеры решения задач

Пример 10.Лампа с силой светаI= 50 кд расположена на расстоянииr= 1 м от лежащей на столе книги. Освещённость книгиЕ= 25 лк. Под каким углом падает свет на книгу? На какой высоте подвешена лампа над столом?

Р е ш е н и е. Лампу можно принять за точечный источник света, так как её размеры малы в сравнении с расстоянием её до книги. Поэтому определить угол , под которым падает свет, можно из формулы освещённости

Е= cos, (1)

где – угол, под которым падают лучи (рис. 3).

Из формулы (1) определим cos:

cos= . (2)

Подставляем числовые значения величин в формулу (2) и вычисляем

cos= = 0,5.

Следовательно, = 60.

Рис.3 Из рис. 3 видно, что высота лампы над столомh=r cos  = 1· 0,5 м = 0,5 м.

Пример 11. Фокусное расстояние объектива микроскопаf₁= 5 мм, окуляраf₂= 25 мм. Предмет находится на расстоянииs= 5,1 мм от объектива (рис. 4). Вычислить длину тубуса микроскопа и даваемое микроскопом увеличение.

Р е ш е н и е. Увеличение микроскопа определяется по формуле

 = ₁ ₂, (1)

где ₁– увеличение, даваемое объективом;₂– увеличение даваемое окуляром.₁и₂определяются по формулам

₁= ; (2)

₂= , (3)

где s– расстояние от объектива до даваемого им действительного изображения, см; 25 – расстояние наилучшего видения для нормального глаза, см. С учётом (2) и (3) формула (1) примет вид= . (4)

Рис.4

Расстояние sот объектива до изображения можно определить из формулы линзы

,

где s– расстояние от предмета до линзы.

Откуда

s= .

Вычислим s:

s= мм = 255 мм = 25,5 см.

Выпишем числовые значения величин, входящих в формулу (4), и вычислим увеличение микроскопа: s= 25,5 см;f₁= 5 мм = 0,5 см;f₂= 25 мм = 2,5 см;

 = = 510.

Длину тубуса определим, исходя из следующих соображений. Действительное изображение, даваемое объективом, должно лежать почти в фокусе окуляра, так как окуляр действует как лупа (рис. 4). Поэтому длина тубуса

L=s+f₂. (5)

Подставив числовые значения в (5), вычислим длину тубуса L= 25,5 см + + 2,5 см = 28 см.

Если принять, что Ls, то для определения увеличения микроскопа можно также пользоваться приближённой формулой

 = .

Подставив в эту формулу числовые значения, получим

 = = 560.

Пример 12.Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решётки, если при нормальном падении света длиной волны= 600 нм решётка даёт первый максимум на расстоянииl= 3,3 см от центрального. Расстояние от решётки до экранаL= 110 см.

Р е ш е н и е. Число штрихов Nна 1 мм решётки определим по формуле

N= , (1)

где d– период решётки, т.е. расстояние между штрихами решётки.

Период решётки найдём из формулы условия максимума

d · sin  = k, (2)

где  – угол, под которым наблюдаетсяk-й максимум (рис. 5);k– порядок (номер) максимума.

Ввиду того, что для максимума 1-го порядка угол мал, можно принять

sin   tg  = . (3)

Рис.5

Подставив в формулу (2) выражение синуса угла из (3), определим постоянную решётки

d= . (4)

С учётом (4) формула (1) примет вид

N= . (5)

Выпишем числовые значения, выразив их в СИ, и подставим в (5):

l= 3,3 см = 3,3·10^–2 м;L= 110 см = 1,10 м; k = 1;= 600 нм = 600·10^–9 м = 6·10^–7 м;

N= м^–1= 50 000 м^–1= 50 мм^–1.

Пример 13. Определить концентрациюСсахарного раствора, если при прохождении света через трубку с этим раствором длинойl= 20 см плоскость поляризации света поворачивается на угол= 10. Удельное вращение сахара в растворе [] = 0,6 град/(дм∙%).

Р е ш е н и е. Концентрацию раствора определим из формулы

 = []Сl, (1)

выражающей угол поворота плоскости поляризации.

Из этой формулы получим

С= . (2)

Выпишем числовые значения и вычислим = 10; [] = 0,6 град/(дм·проц);l= 20 см = 2 дм;

С = = 8,33%.

Пример 14.Максимум энергии излучения абсолютно чёрного тела при некоторой температуре приходится на длину волны₀= 1 мкм. Вычислить излучательность (энергетическую светимость)^*R_eтела при этой температуре и энергиюW, излучаемую с площадиS= 300 см²поверхности тела за времяt= 1 мин. Определить также массу, соответствующую этой энергии.

Р е ш е н и е. Излучательность абсолютно черного тела определяется по формуле закона Стефана – Больцмана:

R_e=T⁴, (1)

где – постоянная Стефана-Больцмана;Т– абсолютная температура тела.

Абсолютную температуру определим из закона смещения Вина:

₀= ,

откуда

Т= , (2)

где ₀– длина волны, на которую приходится максимум излучения при температуреТ;С– постоянная Вина.

Подставив выражение для Тиз (2) в (1), получим

R_e=. (3)

Выпишем числовые значения в СИ: = 5,67·10^–8 Вт/(м²·К⁴);С= 2,89·10^–3 м·К;₀= 1 мкм = 10^–6 м.

Проверим единицы величин правой и левой частей формулы (3):

Вт/м²= Вт/(м² · К⁴) · (м · К/м)⁴, Вт/м²= Вт/м².

Вычислим

R_e= 5,67·10^–8Вт/м²= 3,95·10⁶ Вт/м²= 3,95 МВт/м².

Энергию, излучаемую с площади Sповерхности тела за 1 мин, определим по формуле

W=R_eSt. (4)

Выпишем числовые значения в СИ: R_e= 3,95·10⁶ Вт/м²;S= 300 см²= 3·10^–2 м²;t= 1 мин = 60 с.

Проверим единицы величин правой и левой частей формулы (4):

Дж = Вт/м²· м²· с, Дж = Дж.

Вычислим W= 3,95·10⁶· 3·10^–2· 60 Дж = 7,10·10⁶ Дж = 7,10 МДж.

Массу тизлучения определим, исходя из закона Эйнштейна взаимосвязи энергии и массы:

Е=тс², (5)

где с– скорость света в вакууме;Е– энергия;

откуда

т= . (6)

Выпишем числовые значения величин и вычислим массу:

Е=W= 7,10·10⁶ Дж;с= 3·10⁸ м/с;

т= кг = 7,88·10^–11 кг = 7,88·10^–5 мг.

Пример 15.На поверхность площадьюS= 3 см²за времяt= 10 мин падает свет, энергия которогоW= 20 Дж. Определить: 1) облучённость (энергетическую освещённость) поверхности, 2) световое давление на поверхность, если она: а) полностью поглощает лучи, б) полностью отражает лучи.

Р е ш е н и е. 1) Облучённостью Е_еповерхности называется величина, равная энергии излучения, падающей на единицу площади в единицу времени:

Е_е= .

Выпишем значения входящих в эту формулу величин и вычислим: W= 20 Дж;S= 3 см²= 3·10^–4 м²;t= 10 мин = 60 с;

Е_е= Дж/(м²· с) = 111 Вт/м².

2) Световое давление определяется по формуле

р= (1 +), илир=w(1 +),

где w= – объёмная плотность энергии излучения;с– скорость света в вакууме;– коэффициент отражения.

Если поверхность полностью поглощает лучи, то = 0 и тогдар= = = Па = 3,70·10^–7 Па = 0,370 мкПа.

Если поверхность полностью отражает лучи, то = 1 и тогда

р= 2= 2 · 0,370 мкПа = 0,740 мкПа.

Пример 16.Определить кинетическую энергиюТи скоростьфотоэлектронов при облучении натрия лучами длиной волны= 400 нм, если красная граница (порог) фотоэффекта для натрия_гр= 600 нм.

Р е ш е н и е. Кинетическую энергию фотоэлектронов определим из формулы Эйнштейна для фотоэффекта

h=A+ , (1)

где h– постоянная Планка;– частота света;А– работа выхода электрона;Т= – кинетическая энергия фотоэлектронов;т– масса электронов;– скорость фотоэлектрона.

Из формулы (1) следует

Т= =h–A. (2)

Частоту света определим по формуле

 = , (3)

где с– скорость света;– длина волны падающего света.

Если поверхность металла освещать лучами частотой _гр, соответствующей красной границе фотоэффекта, то кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю и формула (1) примет вид

h_гр = A, (4)

где _гр– частота, соответствующая красной границе фотоэффекта.

Отсюда найдём работу выхода:

A =h_гр

или

А=h, (5)

где _гр– красная граница фотоэффекта, т.е. максимальная длина волны, при которой ещё возможен фотоэффект.

Подставим в (2) выражение для из (3) иАиз (5):

Т = = h – h = hc. (6)

Выпишем числовые значения величин в СИ: h= 6.63·10^–34 Дж·с;с= 3·10⁸ м/с;= 400 нм = 4·10^–7 м;_гр= 600 нм = 6·10^–7 м.

Проверим единицы величин правой и левой частей формулы (6):

Дж = Дж · с · м/с · 1/м, Дж = Дж.

Вычислим

Т= = 6,63·10^–34· 3·10⁸Дж = 1,67·10^–19Дж =

= эВ = 1,04эВ. (1эВ = 1,60·10^–19 Дж).

По формуле Т= определяем скорость фотоэлектронов

 = .

Выпишем числовые значения и вычислим Т= 1,67·10^–19 Дж,т= 9,11·10^–31 кг;

 = м/с = 6,06·10⁵ м/с = 606 км/с.

Пример 17.Определить энергию, выделяемую при делении ядер урана массойт = 1 кг. При делении одного ядра выделяется энергия= 200 МэВ.

Р е ш е н и е. При делении урана выделится энергия

Е=N , (1)

где N– число атомов (ядер).

Число ядер в данной массе турана найдём из формулы

N= N_A, (2)

где – молярная масса;N_A– число Авогадро.

Подставляем выражение Nиз (2) в формулу (1):

Е= . (3)

Выпишем числовые значения величин в СИ: т= 1 кг;= 235·10^–3 кг/моль;N_A= 6,02·10²³ моль^–1;= 200 · 1,60·10^–13 Дж = 3,20·10^–11 Дж.

Проверим единицы величин правой и левой частей формулы (3):

Дж = кг/(кг · моль^–1) · моль^–1· Дж; Дж = Дж.

Е= 6,02·10²³· 3,2·10^–11 Дж = 8,2·10¹³ Дж = 82 ТДж.

Пример 18.Определить дефект массы ∆ти энергию связи ∆Еядра атома бора .

Р е ш е н и е. Дефект массы ядра представляет собой разность массы нуклонов (протонов и нейтронов), составляющих ядро, и массы ядра и определяется по формуле

∆т = Zm_p + (A – Z)m_n – m_я , (1)

где Z– зарядовое число (число протонов в ядре);т_р– масса протона;А– массовое число (общее число нуклонов в ядре); (А–Z) – число нейтронов в ядре;т_n– масса нейтрона;т_я– масса ядра.

Числа ZиАуказываются при написании символа элемента;Z– слева внизу;А– справа вверху.

В данном случае для бора Z= 5,A= 10.

Массу ядра найдём по формуле

т_я=т_а–Zm_e, (2)

где – масса нейтрального атома водорода.

Из табл. 9 и 10 выпишем: = 1,00783 а. е. м.^*,т_п= 1,00867 а. е. м.,т_а= 10,01294 а. е. м.

Подставим числовые значения в (3) и вычислим дефект массы ядра бора ∆т= 5 · 1,00783 а. е. м. + (10 – 5)1,00867 а. е. м. – 10,01294 а. е. м. = 0,06956 а. е. м.

Энергия связи ядра – энергия, выделяющаяся при образования ядра в виде электромагнитного излучения, определяется по формуле

∆Е= ∆тс², (4)

где с– скорость света в вакууме.

Если энергию связи ∆Евыражать в мегаэлектрон-вольтах, дефект массы ядра ∆тв атомных единицах, то формула (4) примет вид

∆Е= 931 ∆т, (5)

где 931 – коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе в 1 а. е. м.

Подставив значение ∆тв (4), вычислим энергию связи:

∆Е= 931 · 0,06956МэВ= 64,8МэВ.

Пример 19.Вычислить энергию ядерной реакции

_{+  + .}

_{Выделяется или поглощается эта энергия?}

_{Р е ш е н и е. Энергию ядерной реакции определяем по формуле}

_{∆Е = 931 ∆т, (1)}

_{где ∆т – изменение массы при реакции, т.е. разность между массой частиц, вступивших в реакцию, и массой частиц, образовавшихся в результате реакции:}

∆т= . (2)

Здесь – масса атома кислорода; – масса атома действия (изотопа водорода); – масса атома азота; – масса атома гелия. По табл. 10 находим массы атомов, подставляем в формулу (2) и вычисляем:

∆т= (15,99491 + 2,01410) а. е. м. – (14,00307 + 4,00260) а. е. м. = 0,00334 а. е. м.

Подставляем числовые значения ∆тв (1) и вычисляем энергию ядерной реакции ∆Е= 931 · 0,00334 МэВ = 3,11 МэВ.

В результате ядерной реакции выделяется энергия, так как масса исходных ядер больше массы ядер, образовавшихся в результате реакции.